狄拉克方程：反物质的“先知”

13 狄拉克方程：反物质的“先知”

应优先寻找美丽的方程，而不要去烦恼其物理意义。

是否有这样一种可能，世上存在着一个由反物质构成的你，那个“反你”看上去和你的外观及行为都一模一样。

在浩瀚宇宙的某个地方，或许存在着一个和地球左右颠倒的“孪生兄弟”。也许还有反物质构成的“反银河系”和“反太阳系”，甚至是居住着“反人类”的“反地球”。

1933年12月，谦逊而腼腆的狄拉克站在诺贝尔领奖台上称，的确存在这样一个神秘的反物质世界。

理工男的标本纯洁的灵魂上演孤独的财富

狄拉克，理工男的标本级人物。他沉默寡言，淡泊名利，整天足不出户，对着书本和公式静思默想，以致不善言谈，被认为情商颇低，常常闹出人际冷笑话。

一次，他在某大学演讲，讲完后有观众问：“狄拉克教授，我不明白你的那个公式是如何推导出来的。”结果，狄拉克看着那位观众，很久都没说话。主持人不得不提醒狄拉克，他还没有回答问题。

“回答什么问题？”狄拉克奇怪地问，“他刚刚说的是一个陈述句，不是一个疑问句。”

这种神奇的脑回路，恐怕也只有狄拉克拥有。但这恰恰也从另一个角度证明了这位不谙世事的天才确如玻尔评价的那样，是“所有物理学家中最纯洁的灵魂”。他的一生，终日安静埋头书屋，没有什么多余兴趣，常心无旁骛地单打独斗，致力于完成自己的历史使命——成为量子力学理论体系的完备者。

1930年，狄拉克出版现代物理经典巨著《量子力学原理》。这本书出版后，由于它系统并前瞻性地勾勒出了量子世界的轮廓，使备受争议的量子力学取得了发展。

当然，量子力学理论体系不是一天建成的，回到20世纪初，正是量子力学旭日东升的岁月。当时，狄拉克正值青春年华，大学毕业后转入剑桥继续深造。可惜英国并不具备发展量子理论的良好沃土，懂得量子力学的人屈指可数。虽然狄拉克身在伦敦孤军奋战，但他还是迅速地给剑桥争了口气，用时不到三年，他便跻身于最前沿的量子学派行列，与被后世誉为“量子力学黄金三角”的玻尔、海森堡和泡利并肩作战。

狄拉克与量子力学结缘，得益于1925年他与海森堡通过一篇论文结识。在这篇论文里，海森堡创建了一个全新理论来解释经典力学为什么无法解决原子光谱 1问题。他从直接观测到的原子谱线出发，引入矩阵工具，用这种奇异方块去构量子力学的大厦。

但是海森堡的数学不够好，他始终无法理解自己的矩阵为何会不满足小学的乘法交换律，使动量p和位置q出现这样的属性：p×q≠q×p，即如果改变了p和q的相乘顺序，就会得到不同的结果。

具体举个例子，假设：

则按照矩阵乘法规则：

显然，p×q 并不等于q×p。

好在量子力学的另一位大师级人物对波函数给出了统计解释，德国犹太裔理论物理学家玻恩——量子力学的奠基人之一，一眼就认出这看似奇特的方块并非什么新鲜东西，而是线性代数里的矩阵。

为了自家刚建立起的量子物理大厦，玻恩当即找了害羞内向、精通矩阵运算的数学家约尔当，一起埋头苦干，决心为海森堡提出的“不确定性原理”打一个坚实的数学基础。

然而，这矩阵异常复杂，玻恩和约尔当在哥廷根大学忙得焦头烂额，彻夜加班。而远在英国剑桥的学生宿舍里，狄拉克正凭借他对哈密顿四元数的专业掌握及对矩阵的熟悉，轻而易举地透过论文的表格，抓住了海森堡体系里的精髓p×q≠q×p，直取这种代数的实质，即不遵守乘法交换律，并脑洞大开地参考了同样不符合乘法交换率的“泊松括号 2”运算，建立了一种新的代数——q数（q表示“奇异”或者“量子”），并将它与动量、位置、能量、时间等概念联系在一起，再用c数（c代表“普通”）来表示原来那些旧体系里符合交换率的变量。狄拉克在c数和q数之间建立起了简单易懂的联系，说明了量子力学其实是旧体系的一个扩展，新力学与经典力学实为一脉相承。

可惜的是，狄拉克晚了一步，尽管他的方法更简洁明晰，但在哥廷根联合作战的玻恩和约尔当率先计算出了结果。

狄拉克的天才光芒，暂时藏在伦敦的黑夜之中。

反物质“先知”一统狭义相对论与量子力学

错过了第一个算出海森堡的矩阵力学设想之后，无欲无求的狄拉克并不气馁，他再次证明了矩阵力学和氢分子实验数据的吻合。不幸的是，命运之神再次和他开了个玩笑，他比公布相同研究成果的泡利慢了五天。

不过，天才的光芒是注定掩盖不了的。

1926年，当量子力学的另一天才海森堡正在兴致勃勃地研究矩阵力学时，与其水火不容的薛定谔正在另一条路上开创波动力学。在细细咀嚼了德布罗意的“物质波 3”假说后，薛定谔从建立在相对论基础上的德布罗意方程出发，得出了另一个方程，但因为没有考虑到电子自旋情况，所以推导出来的方程不符合索末菲模型 4。薛定谔也非等闲之辈，他从经典力学的哈密顿-雅可比方程 5出发，利用变分法 6和德布罗意公式，最后求出了一个非相对论的波动方程，即薛定谔方程。

一时间，矩阵力学与波动力学相互对峙，海森堡和薛定谔两人各自为政，吵得不可开交。冷静的狄拉克发现，这两人的理论其实彼此互补，并开始研究薛定谔的波动力学。

不管是海森堡还是薛定谔，所提出的量子力学都不符合狭义相对论的形式要求。这让从事过相对论动力学研究的狄拉克十分不舒服，他决定找到一个更好的量子力学方程，用以描述电子的运动行为，其不仅要符合相对论的运动关系，而且在低能的情况下应该可以近似薛定谔方程。

有趣的是，当时瑞典物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·高登也在试图找到一个符合相对论的电子量子理论，并分别独立导出了克莱因-高登方程。

那个物理学史上的黄金年代，真是天才辈出！

所以，这一次狄拉克又晚了一步吗？

根据量子力学对概率的数学诠释，克莱因-高登方程会导出负的概率，这简直不可接受，毕竟谁也无法想象出-50%的可能性抛出反面朝上的硬币。同时，利用克莱因-高登方程计算氢原子能级得到的结果和实验所得到的结果相差较大。从理论与实验相符的角度来看，克莱因-高登方程作为描述电子的方程，并不是一个好的理论。

1928年，狄拉克站在海森堡、德布罗意、薛定谔、克莱因和高登等人的肩膀上，提出了电子运动的相对论性量子力学方程，即名垂青史的狄拉克方程。

在这个方程中，狄拉克率先统一了狭义相对论与量子力学，成功地把相对论、量子和自旋这些此前看似无关的概念和谐地结合起来，解决了当时理论物理界的一大难题，并得出一个重要结论：电子可以有负能值。这修正了克莱因-高登方程中得出负值概率的荒诞情形，还为物理学世界开辟了一块“新大陆”——游荡在宇宙中的反物质。

狄拉克方程意料之外的神来之笔

想弄懂狄拉克方程并不容易，就连狄拉克都曾感慨这个方程比他更聪明。毕竟他事先从未考虑过自旋，对把电子的自旋引进波动方程根本不感兴趣。可是，狄拉克方程能如此“无中生有”地指出为什么电子有自旋，而且为什么自旋角动量是而不是整数，这让当时最负盛名的海森堡都颇为嫉妒。现在，我们就来一起见识下这个方程的庐山真面目：

式中， 为自由电子的一个操作矩阵； 为对偏导；ψ为相对论自旋场；i为复数， 表示复数共轭；m为自旋粒子的质量。

这是狄拉克方程在相对论量子力学里描述自旋粒子的方程式，实质上是薛定谔方程的“洛伦兹协变式”，是按照量子场论的习惯进行书写的。说到这里，还得感谢薛定谔当初意志力不坚定，没有坚持他那漂亮的相对论性波动方程，就因过多纠结理论与实验不太一致，又“移情别恋”非相对论性波动方程，这才让狄拉克在相对论性原理中有机可乘。

找到一个符合相对论形式的波动方程并不容易，哪怕当时克莱因和高登已经推导出了一个颇受关注的克莱因-高登方程：。狄拉克犀利地看到这个方程会得出一个负值的概率，而这在物理学上毫无意义。

为了解决这个负能态与负概率问题，“闷葫芦”狄拉克一头钻进书海，和现有的狭义相对论、矩阵力学、波动力学较起了劲。在看矩阵力学时，泡利的一个公式引起了他的注意：（其中I为2×2的单位矩阵）

最初，电子的自旋是作为假设提出的，泡利就是为了描述电子的自旋角动量才创建了三个二阶矩阵：σ1、σ2、σ3。狄拉克心想：有没有可能方程的系数就是矩阵形式？

这一灵光乍现让向来淡漠的狄拉克脸上泛起了罕见的红晕，可最初假设的电子自旋只要求波动函数有两个分量（两个解），现在克莱因-高登方程却出现了负能态和负概率，那波动方程解的数目必定是以前的两倍（四个分量）。因此，狄拉克觉得系数应该扩展为一个4×4矩阵，而不是泡利的2×2矩阵。

沿着泡利矩阵的思路，狄拉克把σ公式推广到四个平方和并求解：

这里就推广为4×4的单位矩阵方程，考虑到薛定谔方程不具备洛伦兹协变性，所以对薛定谔方程（非相对论性波动方程）进行变换时也要避开克莱因-高登方程的缺陷。狄拉克推导出方程如下：

其 中， 。那 么， E 2 =c 2 p 2+m 2 c 4 。当动量p很小的时候， 2。

如果动量为0，自旋为0，那么E2 =c2 p2+m2c4中c2 p2 =0 ，得E2=m2c4 ，即E mc= 2，这是符合爱因斯坦场论的。

而动量不为0，自旋为0时， E2 =c2 p2+m2c4 。当动量、自旋都不为0时，就推导出了一般式，用量子力学方式书写就变成了开头的方程。

令人感到惊奇的是，在这一推导过程中，狄拉克方程还自动提供了薛定谔曾经梦寐以求的相对论性波动方程。所以，即使在科学上，忠诚也是一种弥足珍贵的品质。

富有魔力的狄拉克预言和“天使粒子”的独特存在

20世纪30年代，狄拉克方程已成为现代物理学的基石之一，标志着量子理论的一个新纪元的到来。它打破了物理帝国的游戏规则，预言了一个新的基本粒子和两个基本过程，即反物质粒子正电子的存在，以及电子-正电子对的产生和湮灭的过程。

例如，一个正常的氢原子由带正电的质子和带负电的电子组成，但在一个“反氢原子”中，质子却带着“伤心满满”的负电，而电子带着“火辣辣”的正电！如图13-1所示，当一个氢原子和一个“反氢原子”相遇时，它们会遵循E mc= 2 ，“轰隆”一声就放出大量的能量辐射，然后双方同时消失得无影无踪。

这种现象听着有些离奇，但确实在发生。

很快，1932年，物理学家卡尔·安德森便在宇宙线实验中发现了正电子的存在，证实了狄拉克的预言，狄拉克也因此获得1933年的诺贝尔物理学奖，同时获奖的还有大名鼎鼎的薛定谔。

在这之后，对反物质探寻的一系列强有力的实验验证，也再次加固了狄拉克方程的地位。

1995年，欧洲核子研究中心的科学家在实验室中制造出了世界上第一批反物质——反氢原子。

1997年，美国天文学家宣布发现，在银河系上方约3500光年处，有一个不断喷射反物质的反物质源，它喷射出的反物质形成了一个高达2940光年的“反物质喷泉”。

2000年，欧洲核子研究中心宣布已经成功制造出约5万个低能状态的反氢原子，这是人类首次在实验室条件下制造出大批量的反物质。

然而，对于物理学家来说，狄拉克方程拥有至高无上的地位不仅在于其理论被实验一再证实，而且它在理论上具有广泛的影响并时常带来意外之喜。

2002年，在狄拉克100周年诞辰纪念日上，韦尔切克曾赞叹过：“在所有物理公式中，狄拉克定理或许是最有‘魔力’的一个……它是决定基础物理发展方向的枢纽之一。”

此话评价甚高，却绝非溢美之词。当时，在狄拉克方程的引导下，量子物理学家们更好地认知了真空，即宇宙的基态。真空不再被视为空旷无物之处，而是各种各样的能量汇聚的场所。而后，随着对粒子的深入认识，量子界的大师们开始看到了量子场的世界。与电场一样，这些场也在空间中无所不在，而粒子则是它们的局部表现形式。粒子可以瞬息存在，也可以长期存活。

更神奇的是，狄拉克方程甚至揭示了宇宙中有两种完全不同的量子，其中含玻色子 7和费米子 8。玻色子喜欢抱团而居，让激光应运而生；而费米子是“孤独患者”，喜欢独来独往，你永远不会发现有两个相同量子状态的费米子。这一神奇的模式后来解释了元素周期律，成了化学的基础。

不过，随着人们逐渐把“有粒子必有其反粒子”当作绝对真理，有意思的事情又发生了。2017年，华裔物理学家张首晟团队与其他团体合作，在实验中发现了“天使粒子”，这种粒子与狄拉克费米子相异，并没有与之相对应的反粒子，却与马约拉纳费米子十分吻合。马约拉纳费米子指的是存在这样一种没有反粒子的粒子，或者说它的反粒子就是它本身。也就是说，“天使粒子”的反粒子或许就是其本身，这不仅是对微观世界认知的一次飞跃性进步，而且还给量子计算带来了新的希望。

毕竟，在那样的一个世界里，完美到只有天使，没有魔鬼，没有湮灭。

物质-反物质之谜宇宙丢失的另一半

“天使粒子”的发现揭开了大幕的独特一角，但还有一件事始终令物理学家们疑惑不解。按照当下流行的大爆炸宇宙论 9，宇宙生成之初，物质和反物质应是对称的，即物质和反物质的数量在开始时应该一样多。可为何我们只看到了一个只有物质的宇宙？狄拉克所说的反物质都跑到哪去了？这时，各物理门派开始脑洞大开。

理论一：认为在大爆炸产生了我们所在的以物质为主的宇宙时，同时也产生了一个对应的以反物质为主的反宇宙。但宇宙和“反宇宙”互不联通，所以这个理论基本无法验证。如果一定要找到某种联通的途径，只能通过更高维的空间或玄之又玄的“虫洞 10”。生活在三维空间的我们，有不少人觉得该理论太过玄妙，少谈为宜。

理论二：认为可能存在与物质的星云、星系等相对应的反物质的星云、星系，它们共存于同一个宇宙中，但相隔遥远，因此不会撞到一起而湮灭。如果真是那样，一些来自“反世界”的反原子核就有可能飞到地球来。这些反原子核一旦碰触大气层就会湮灭，所以要想探测到它们，只可能在大气层的边缘或之外。然而，到目前为止，除了正电子，仍没有任何证据显示原始反物质正潜伏在太空某处。

理论三：认为宇宙生成时物质和反物质确实是对称的，但由于我们目前还不知道的机制，在宇宙发展的过程中反物质通通消失，只剩下了物质。参考了大型强子对撞机的数据，科学家估测宇宙早期每形成十亿个反物质的同时就产生十亿零一个物质，这意味着宇宙刚诞生时差不多有一半仍旧是反物质。可惜，实验结果与科学家的预估大相径庭，宇宙刚诞生时的反物质质量只相当于一个普通的星系。反物质的探寻之路依旧扑朔迷离。

宇宙到底有没有另一半？有的话，它会在哪里？反物质和物质为什么会有不同的行为？宇宙诞生之初究竟发生了什么？

当然，纵使天才如狄拉克，这些问题也已经不是他能预见到的了。

新的问题层出不穷，浩瀚宇宙仍然深不可测。

结语相遇即湮灭

尽管狄拉克方程未经实验验证就率先推证了反物质的存在，狄拉克更是开创了理论物理学家通过数学的知识成功预言了未知粒子存在的先例。

但是，面对这个由反质子和反中子构成了反原子核，反原子核和反电子构成了反原子，再由反原子构成的形形色色的反物质世界，人类不仅难以在广袤宇宙中探寻到它的存在，而且永远不能进入，同时不能与自己的双胞胎兄弟——“反人类”会面，因为人类一旦进入这一神秘的反物质世界与“反人类”相遇，便会迅速湮灭！

所谓湮灭，是指正反物质完全地由物质转变为能量，过程遵循E=mc2，而正反物质湮灭产生的能量有多大？我们回忆一下利用核反应前后质量之差所产生的核爆炸能量，再想想假如质量完全消失释放的能量规模！

1 原子光谱：由原子中的电子在能量变化时所发射或吸收的一系列波长的光所组成的光谱。

2 泊松括号：法国科学家泊松求解哈密顿正则方程时所用的一种数学符号。

3 物质波：又称德布罗意波，指的是物质在空间中某点、某时刻出现的概率，其中概率的大小受波动规律的支配。

4 索末菲模型1916年，索末菲在玻尔模型的基础上将圆轨道推广为椭圆形轨道，并且引入相对论修正，提出了索末菲模型。

5 哈密顿-雅可比方程：经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。

6 变分法：17世纪末发展起来的一门数学分支，用以寻求极值函数，使泛函取得极大值或极小值。

7 玻色子：遵循玻色-爱因斯坦统计，自旋为整数的粒子。玻色子不遵守泡利不相容原理，在低温时可以发生玻色-爱因斯坦凝聚。

8 费米子：在一组由全同粒子组成的体系中，如果在体系的一个量子态（由一套量子数所确定的微观状态）上只容许容纳一个粒子，这种粒子称为费米子。

9 大爆炸宇宙论：现代宇宙学中最有影响力的学说之一，主要观点是宇宙曾有一段从热到冷的演化史。在这个时期里，宇宙体系在不断地膨胀，使物质密度从密到稀地演化，如同一次规模巨大的爆炸。1946年，美国物理学家伽莫夫正式提出大爆炸理论，认为宇宙由大约140亿年前发生的一次大爆炸形成。

10 虫 洞：最 早于1916年由奥地利物理学家路德维希·弗莱姆提出，并于1935年由爱因斯坦及纳森·罗森加以完善，因此“虫洞”又被称为爱因斯坦-罗森桥。一般情况下，人们口中的“虫洞”是“时空虫洞”的简称，它被认为是宇宙中可能存在的捷径，物体通过这条捷径可以在瞬间进行时空转移。