杨-米尔斯规范场论：大统一之路
规范场论不属于人间，它属于宇宙。
近60年来，物理学家都干什么去了？在许多科学爱好者的心里，都有着这么一个疑问。毕竟，在人类科学发展史上，20世纪物理学家灿若群星。但过去了这么久，大家似乎也只记得1900—1953年这个黄金时代，爱因斯坦、玻尔、薛定谔、海森堡、狄拉克、玻恩、泡利等天才携手而来。
而自从1955年爱因斯坦去世之后，物理界鸦雀无声。就算有人提到1950—1975年是物理学白银时代，但大部分人其实并不知道此时的物理学家们做了什么。
物理学家并没有闲着，近60年来，很多优秀的物理学家在规范场论里寻找生存的意义，只是这个领域太深奥，并没有多少人能够真正理解它。
规范场论20世纪物理学三大成就之一如果说20世纪初相对论是物理学旗手，中期是新量子论的天下，那么下半叶则属于规范场论。诺贝尔奖得主丁肇中曾这样说：“提到21世纪的物理学里程碑，我们首先想到三件事，一是相对论（爱因斯坦），二是量子力学（狄拉克），三是规范场（杨振宁）。”
相对论就不用多说了，量子力学也是如雷贯耳，但规范场论这个名字非常陌生，它竟然是20世纪物理学三大成就之一？
原因很简单，规范场论是当代物理学最前沿阵地，如果你不是物理博士或者物理学爱好者，根本就不可能接触到规范场论，一辈子也不可能与同位旋 1SU(2)打交道。
规范场论已经不是与质子、中子“攀交情”，而是和夸克 2一样级别的小玩意“捉迷藏”，寻常人等早已经被电磁场弄得死去活来，哪里还敢进入规范场论修炼？
规范场的建立与许多物理学家联系在一起，包括赫尔曼·外尔 3、杨振宁、盖尔曼等，从电磁场开始，这些非凡头脑走进了这个神秘世界。杨振宁是这个领域的领军者之一，他创立的杨-米尔斯理论是规范场论的基石。
2000年，Nature评选过去1000年影响世界的物理学家，杨振宁是在世的唯一一个影响世界千年的物理学家。
这样的评价是不是有点夸张了？很多人表示怀疑，杨振宁真的能与牛顿、爱因斯坦、狄拉克这些人相提并论？
微观意义规范场论建立微观粒子的标准模型大部分人对微观粒子的认知到夸克就基本结束了，物理教科书上对夸克也语焉不详，没有几个人去探索这个深邃无比的亚原子世界。
规范场论有着自己的勃勃野心，它的目标是建立一个完美的粒子标准模型。想在亚原子世界建立一套统一理论，要让肉眼凡胎看不见的创世粒子（姑且这样定义，比质子、中子低一个层级）都在这个标准模型下运转，也就像宏观世界的牛顿三大定律，不管人类深入地底还是探索火星，都必须遵守牛顿定律，这比早期玻尔在“量子世界”建立原子标准模型还要难，因为亚原子世界比原子还要细微，比电子还要缥缈。
现代物理已经论证原子核由质子和中子构成，一些放射性衰变原子核会放射出电子。但要继续往下研究，了解原子核里面的结构，必须弄清楚质子、中子和电子的相互作用。要探索这个世界，人类只有通过大型对撞机才能发现其中的蛛丝马迹。
经过现代粒子对撞实验和理论的发展，主流物理学已经达成共识，质子由两个上夸克和一个下夸克组成，中子由两个下夸克和一个上夸克组成，而这些夸克又有不同颜色。然而，要构建全面的夸克理论，必须假设有六种夸克，这些夸克组合成许多其他粒子。除了夸克组成的强子，还有轻子 4，轻子的种类和夸克一样，也是六种。夸克和夸克之间的强相互作用力又需要相应的交换粒子来传递，这些交换粒子称为规范玻色子（如胶子）。
从夸克、轻子、规范玻色子，以及希格斯玻色子 5的交互作用来看，规范场论是描述亚原子世界的物理框架，目前的实验结果符合规范场论的标准模型，它对电子与光子之间相互作用的预计结果能精确到 。
实验证明了理论的正确性，不管你相不相信规范场论，它现在就是粒子物理的基石。
宏观意义规范场论要实现爱因斯坦大统一理论爱因斯坦在1915年发表广义相对论之后，便开始了“大统一之梦”，希望通过一个公式来描述宇宙中的每一个细节，寻找一种统一理论来解释所有相互作用。
这一“统”就是三十余年，无论这位伟人从数学还是物理角度入手，最终还是一无所获，这也是爱因斯坦十分尊敬麦克斯韦的原因。麦克斯韦方程可算是电、磁、光三者“统一”场理论，他统一了电磁力 6。
那现代物理意义上的大统一理论到底是什么？
大统一理论又称为万物之理。由于微观粒子之间仅存在四种相互作用力：万有引力 7、电磁力（麦克斯韦完成）、强核力、弱核力。理论上，宇宙间所有现象也都可以用这四种作用力来解释，所以物理学家们一直相信这四种作用力应有相同的物理起源，它们在一定的条件下应能走到一起，相聚于同一个理论框架内。能统一说明这四种作用力的理论或模型，可以称为大统一理论。
那规范场论何德何能，有可能实现爱因斯坦眼中的大统一理论？这主要得益于20世纪后半叶粒子物理学的发展，自然界中几乎所有的基本相互作用都是通过某种形式的规范场来传递的，并由此确立了当代物理学的一个基本原则：几乎全部基本力都是规范场（除引力外）。
我们可以用一个规范群为SU(3)×SU(2)×U(1)的规范场论来寻找答案。
（1）电磁力对应U(1)规范场论。这是一种最简单的规范场论，也称为阿贝尔规范场论，与电磁作用相联系的U(1)群是阿贝尔群，数学家外尔给出了科学解释。
（2）弱核力对应SU(2)规范场论。核子的同位旋对称性在数学上属于SU(2)群，是非阿贝尔群。
（3）强核力对应SU(3)规范场论。强子由夸克构成，夸克间的强相互作用由SU(3)规范作用来实现，SU(3)群也是非阿贝尔群。
1967年，温伯格和萨拉姆将“对称性破缺”引入弱相互作用和电磁相互作用统一的模型上，提出了SU(2)×U(1)规范群结构，建立了弱电统一理论，这是一种规范场论。
1973年，格罗斯、波利茨和威尔茨克建立了基于SU(3)非阿贝尔规范场的量子色动力学。至此，形成了与电磁力、强核力、弱核力有关的所有物理现象的标准模型，最直接的做法是选用这两者的乘积SU(3)×SU(2)×U(1)作为规范对称群，这也是一种规范场论。
也就是说，除了引力，规范场论统一了三种力。
另外，我们还能看到，引力场就是在局部广义时空坐标变换下协变的规范场论。
这就不得不让人们想到，物理学的统一之路是否归于规范场论呢？
当然，想将引力也纳入规范场论的标准模型中并不容易。虽然SU(3)×SU(2)×U (1)群涵盖了三种相互作用，但是这毕竟是三个不同的群，它们对应的规范场的耦合强度也不同。如果能够找一个单一的群，如比较流行的SU(5)和SO(10)，它们含有子群SU(3)×SU(2)× U(1)，然后这个单一群在低能量状态里对称性自发破缺到SU(3)×SU(2)×U (1)，这就是大统一。
直到现在，引力始终还没有统一进来，这又涉及更前沿的超弦理论 8问题。为了将引力纳入“弱-电-强”的理论模型之中，20世纪70年代，物理学家提出了弦论，而后又发展出了超弦理论和M理论 9，但是弦论目前还没有得到公认，还有待证实。并且，随着希格斯粒子的发现，超弦理论困难重重，最有可能成为大统一理论的仍然是规范场论。
当然可能有人会问，大统一理论就是物理学家为了追求数学上的美感瞎折腾，为什么一定要追求大统一理论呢？当牛顿发现万有引力和运动定律后，以力学为基础的现代机械原理催生出了蒸汽机；当麦克斯韦将电学与磁学统一成电磁学后，人类学会了发电；而爱因斯坦利用狭义相对论统一了时空、质能之后，又为人类打开了核能利用的时代……
从历史的角度看，每当人类统一或控制一种自然力，都能使整个社会迅猛前进。那么，一旦人类将所有的作用力整合成一个超作用力，实现大统一理论，这时会有什么突破？
那可能不仅仅是整个文明的指数升级。著名美国物理学家戴维斯曾大胆地写道：“控制超作用力后，我们便能任意地组合与改变粒子，制造出前所未有的物质形态。我们甚至能左右空间的维度数，制造出具有不可思议属性的人工世界。我们将成为宇宙的主宰。”
而目前来看，规范场论是最有可能实现爱因斯坦“大统一之梦”的优秀理论。
规范场论的前世今生和绕不开的杨-米尔斯理论规范场论的建立历程错综复杂，它就好似一件百衲衣，每种力都由一个独立的几何构型来描述，将电磁力、强核力、弱核力和所有粒子都看作李群及纤维丛 10等精巧几何结构的动力学结果。
回首规范场论的发展，尽管爱因斯坦没有实现“大统一之梦”，却在建立广义相对论时留下了用几何语言描述引力场的智慧光芒，深深影响了数学大师赫尔曼·外尔。1918年，外尔试图统一广义相对论和电磁学，他类比广义相对论中的局域对称性，把电磁场也看作一种局域对称性的表现形式，将黎曼几何进行修改，试图建立一种新的几何结构来解释电磁场。延续着这一思路，规范不变性思想得以诞生。
外尔最初的规范思想并不被人接受，主要原因是他的想法太超前，规范不变性的实质是相位不变，而相位概念得等到量子力学产生后才能解释。1929年，在尺度变化被修正为相位变化后，外尔提出了U(1)规范对称性，这是规范场论首次被提出。
规范场论虽然被提出，在此之后却是科学界长达25年的不闻不问。
毕竟规范不变性虽在许多方面有用，但并无本质的意义，仅是电磁学理论的一种特征。这一局面，直到1954年杨振宁和米尔斯建立了杨-米尔斯规范理论才得以改变。
1949年的春天，杨振宁前往普林斯顿高等研究院，不仅租了外尔的房子，还接替了外尔在理论物理界的位置。作为一位出生于中国的物理学家，东方审美一直深深影响着他，“对称性”对于杨振宁来说，一直有着磁铁般的吸引力。
他沿着外尔的思考方向，把规范不变性推广到与电荷守恒定律类似的同位旋守恒中。不过，在这个过程中，他却陷入一种困境，直到与米尔斯合作后，才认识到了描述同位旋对称性的SU(2)是一种非阿贝尔群。尽管阿贝尔规范场论是非阿贝尔规范场论的特殊情况，但就像牛顿方程不能推演出相对论运动方程一样，阿贝尔规范场论并不能推演出非阿贝尔规范场论。
于是，他们两人在这个基础上提出了杨-米尔斯理论，即杨-米尔斯方程，经过后世科学家重新推导修正，方程具体如下：
杨-米尔斯方程是一个非线性波动方程，是线性的麦克斯韦方程的推广。虽然全世界并没有多少人能弄懂它，但它是物理学界极为重要的方程式之一，它开启了规范场论的伟大征程。杨-米尔斯理论并非一帆风顺。1954年，杨振宁到普林斯顿研究院做报告，当他在黑板上写下他们将A推广到B的第一个公式时，台下的物理界大师泡利开始发言：“这个B场对应质量是多少？”这个问题一针见血点到“死穴”。看到杨振宁沉默不语，泡利又问了一遍同样的问题。被物理学界的“上帝鞭子”追问，年轻的杨振宁一身冷汗，只好支支吾吾地说事情很复杂，需要一点时间。泡利咄咄逼人，当时场景使杨振宁十分尴尬，报告几乎进行不下去，幸亏主持人奥本海墨，泡利方才作罢。
第二天，杨振宁收到来自泡利的一段信息，为报告会上的激动发言而遗憾，并给这两位年轻物理学家的工作以美好的祝福，同时建议杨振宁读一读“有关狄拉克电子在引力场时空中运动”的相关论文。多年后，杨振宁才明白其中所述引力场与杨-米尔斯场在几何上的深刻联系，从而促进了他在20世纪70年代研究规范场论与纤维丛理论 11的对应，将数学和物理的成功结合推进到一个新的水平。而规范场论这一优美动人的数学形式，也使物理学家们一直希望用单一的几何构型来描述各种基本相互作用力。
电磁规范场的作用传播子是光子，光子没有质量，但强弱相互作用不同于电磁力，电磁力是远程力，强弱相互作用都是短程力，一般认为短程力的传播粒子一定有质量，这便是泡利当时所提出的问题根源所在。泡利不愧是物理界黄金时代的顶尖大师，慧眼如炬，正是这个质量难题，让规范理论默默等待了20年！
杨-米尔斯理论虽然没有真正解决强弱相互作用的问题，却构造了一个非阿贝尔规范场的模型，历经温伯格、盖尔曼、希格斯、威腾等科学家添砖加瓦，为所有已知粒子及其相互作用提供了一个框架。后来的弱电统一、强作用，都建立在这个基础上。即使是尚未统一到标准模型中的引力，也有可能被包括在规范场的理论之中。如今，六十多年过去了，“对称性支配相互作用”已经成为理论物理学家的一个共识，杨-米尔斯规范场理论对现代理论物理起了奠基作用。
到了21世纪，规范场论已经作为当代物理学前沿的最基础部分，和牛顿力学、麦克斯韦电磁理论、狭义相对论、广义相对论及早期的量子理论一样，是物理学大厦中最坚实的存在。
规范场论的遗憾杨-米尔斯存在性和质量缺口规范场论在实验室被反复证明，但数学解释并不完美。2000年年初，美国克雷数学研究所选定了七个“千年大奖问题”：NP完全问题 12、霍奇猜想 13、庞加莱猜想 14、黎曼假设 15、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳维-斯托克斯方程 16、 BSD猜想 17。这七个问题都被悬赏100万美元，其中就包括杨-米尔斯存在性和质量缺口。
杨-米尔斯理论一“出生”就有着先天缺陷，泡利提出的质量问题最后被南部阳一郎 18的对称性自发破缺机制及希格斯等人发明的希格斯机制勉强解决，成果就是电弱统一理论。再经过当代物理学家的努力，才成为粒子标准模型。该理论的缺点也很明显，除了希格斯机制让人觉得缺乏美感和理性外，它在描述重粒子的数学过程中找不到严格解，还因为它没有量子引力、没有暗物质、没有暗能量，甚至电弱力和强力的统一还远没有成功。
这些缺点让人觉得以杨-米尔斯理论为基石的规范场论就像一件美丽的衣服，但在关键部位破了几个洞。而当代最顶尖的物理学家费曼、盖尔曼、格拉肖、温伯格、希格斯、威腾专门为规范场论这件衣服打上了“补丁”，这才勉强拿得出手。
“千年大奖问题”中有关于杨-米尔斯理论的问题，也说明了这个理论还有很大的完善空间。但不管怎样，作为当代最前沿的物理学理论，已经在全世界范围内的实验室里所开展的实验中得到证实，这已经是不可描述的伟大成就。
量子电动力学大师弗里曼·戴森在纪念爱因斯坦的著名演讲《鸟和青蛙》里这样评价杨振宁：这是一只鸟的贡献，它高高地飞翔在诸多小问题构成的热带雨林之上，我们中的绝大多数在这些小问题里耗尽了一生的时光。
结语朝闻道，夕死可矣刘慈欣的科幻小说《朝闻道》描述了这样一个故事，人类建立了巨大的粒子加速器，想要揭示宇宙的奥秘，寻找物理学上的大统一理论，却被突然出现的超级文明警告：宇宙的最终奥秘，可能导致宇宙的毁灭，所以不能允许人类探寻这个奥秘。
2012年，科学家们发现希格斯粒子后，规范场论最后一个缺陷被弥补，它统一了目前自然界的四种基本力中的三种，爱因斯坦穷尽后半生追求的大统一理论——规范场论正在步步逼近。
物理学的终极奥义是什么呢？科学家们行走于求知的钢丝线上，追寻着梦寐以求的答案。或许，这条路的终点就是宇宙的终极之美，但也有可能为之付出了一切，却终究无法到达。
1 同位旋：与强相互作用相关的量子数。1932年，海森堡为解释新发现中子的对称性而引入同位旋。对于强力相同而电荷不同的粒子，可以看作相同粒子处在不同的电荷状态，同位旋就是用来描述这种状态的。同位旋并不是自旋，也不具有角动量的单位，它是无量纲的一个物理量，之所以称为同位旋，只是因为其数学描述与自旋很类似。
2 夸克：一种参与强相互作用的基本粒子，也是构成物质的基本单元。夸克互相结合，形成复合粒子，称为强子。强子中最稳定的是质子和中子，它们是构成原子核的单元。
3 赫 尔 曼· 外尔：德国数学家、物理学家，主要著作有《空间，时间，物质》《黎曼曲面的思想》《群论与量子力学》《典型群》《对称》，其在数学、相对论和量子力学领域成就突出，还是当今最重要的粒子物理学理论——规范场论的发明者。
4 轻子：不参与强相互作用的自旋为ћ/2的费米子。轻子包括电子、μ子、τ子和与之相应的中微子（νe、νμ和ντ及它们的反粒子）。
5 希格斯玻色子：粒子物理学标准模型预言的一种自旋为0的玻色子。1964年英国物理学家彼得·希格斯提出了希格斯机制。在此机制中，希格斯场引起自发对称性破缺，并将质量赋予玻色子和费米子希格斯粒子由希格斯场的场量子化激发，它通过自相互作用而获得质量。
6 电磁力：包括电力、磁力和光本身，合称为电磁力。电荷（磁极）正负相同为排斥力，相反为吸引力。电磁力由光子传递，与电量成正比，与距离的平方成反比。电磁力属于长程力，在四种基本力中为第二强。
7 万有引力：由引力子传递，与质量成正比，与距离的平方成反比。万有引力属于长程力，在四种基本力中最弱。
8 超弦理论：理论物理的一个分支学科，它的一个基本观点是，自然界的基本单元不是电子、光子、中微子和夸克之类的点状粒子，而是线状的弦（包括有端点的开弦和圈状的闭弦或闭合弦）。
9 M理论：为“物理的终极理论”而提出的理论，物理学家希望能用一个理论来解释所有的物质与能源的本质和交互关系，这个理论试图把四种作用力——电磁力、引力、强核力和弱核力统一起来。
10 纤维丛：1946年由美国人斯丁路特、美籍华人陈省身、法国人艾勒斯曼共同提出。数学上，特别是在拓扑学中，一个纤维丛是一个局部看起来像两个空间的直积（笛卡儿积）的空间，但是整体可以有与直积空间不同的拓扑结构。
11 纤维丛理论：拓扑学中的一种理论。利用纤维丛理论和联络几何学，给出了作为统一电磁场与相互作用场的数学基础的规范场论的一个几何模型。
12 NP完全问题：多项式复杂程度的非确定性问题。如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法转换为某个NP问题，那么这个NP问题就称为NP完全问题。
13 霍奇猜想：代数几何的一个重大的悬而未决的问题。由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。
14 庞加莱猜想：法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想，即“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面”。简单地说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续地收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
15 黎曼假设：关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。
16 纳维-斯托克斯方程：一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程，简称N-S方程。
17 BSD猜想：全称为贝赫和斯维纳通-戴尔猜想，其描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系。
18 南部阳一郎：美籍日裔物理学家，弦理论奠基人之一，因发现原子的对称性自发缺机制与小林诚、益川敏英共同获得2008年诺贝尔物理学奖。