附录E 爱因斯坦引力场方程

附录E
爱因斯坦引力场方程

一点历史

1912年,爱因斯坦提出原始引力场方程,其中,以里奇张量代表时空曲率,表示如下:

里奇张量等于常数乘以能量-动量张量

Rab=KTab

为什么爱因斯坦选择用里奇张量来表示时空曲率呢?为了满足广义协变原理,爱因斯坦和格罗斯曼苦心研究了黎曼几何,以寻觅“广义协变”的数学元素,也即不会随坐标系(参考系)变化而变化的表达式。只有两个元素符合此条件:一是弯曲空间的体积,二是曲率(称为里奇曲率)。里奇张量描述的就是这两个量,因此,里奇张量也是广义协变的。

如十四章所述,爱因斯坦在1912年放弃了里奇张量,因为他错以为对于同一个质能,它可给出多个解。

1915年9月末,当爱因斯坦重新拾回这些引力场方程时,他发现还有其他问题。它们违背了能量守恒定律与动量守恒定律,也不符合“弱”引力和非相对论级速度下的牛顿万有引力定律。经过一番思索,他做出了“一点修正”。他在等式左侧增加了一个项,公式变为:

里奇张量减去1/2曲率不变式等于常数乘以能量-动量张量

Rab-1/2Rgab=KTab

现在,等式左侧包括里奇张量减去二分之一里奇纯量与度规张量的乘积,这个新等式表明,能量-动量守恒定律必须包含时空曲率的来源——质能。(更确切地说,来源是能量-动量,而它是动量能量守恒定律必须包括的项。)

新公式符合弱引力与非相对论级速度下的牛顿定律。

若以简单形式,我们可将“爱因斯坦引力场方程”表示为:

Gab=KTab

此处:Gab=Rab-1/2Rgab

时空曲率:牛顿vs爱因斯坦

第十章中的自由落体电梯思想实验只考虑了时间弯曲,空间弯曲忽略不计。若只利用爱因斯坦引力场方程计算时间弯曲,得到的引力场方程的解将与牛顿的解一致。

起初,爱因斯坦以为,考虑空间弯曲将违反弱引力情况下的牛顿理论,但事实上,它恰恰是区分爱因斯坦引力与牛顿引力的唯一手段。现在,让我们从时空曲率方面来审视这一问题。

平直时空(零重力)中的时空间隔就等于狭义相对论的闵可夫斯基度规。

时空间隔:零时间弯曲或空间弯曲

(时空间隔)2=(空间间隔)2-(时间间隔)2

ds2=(dx2+dy2+dz2)-(dt)2

(单位取光速等于1,如光年/年)

假设现有一个密度均匀分布、不发生旋转且不带电荷的球体恒星(即史瓦西理想天体),在此理想天体的影响下,时空曲率会发生何种全局变化呢?如若只考虑时间曲率,从牛顿理论和爱因斯坦引力理论均可得到下文的公式。

引力场中的时空曲率:只考虑时间弯曲(牛顿与爱因斯坦)

ds2=(dx2+dy2+dz2)-(1-2GM/r)(dt)2

此处G为引力常数,M为牛顿恒星的质量,r为恒星至空间中某一点的距离。

若同时考虑时间曲率与空间曲率,可得爱因斯坦引力场方程的完整解,而它也不再符合牛顿理论。在笛卡儿坐标系中,史瓦西度规近似为下文公式。

引力场中的时空曲率:同时考虑时间弯曲与空间弯曲(仅爱因斯坦)

ds2=(1+2GM/r)(dx2+dy2+dz2)-(1-2GM/r)(dt)2

因此,令爱因斯坦公式不同于牛顿公式的是空间间隔。

时间曲率与空间曲率的效应

让我们一起来看看,与牛顿对同一物理现象的预言相比,时间弯曲和空间弯曲是如何影响爱因斯坦的前两个主要预言的。如图E.1所示是两个时空图(空间与时间由等价单位表示,如光年和年)。

图E.1 时空图:运行的行星与光子
(a)行星大部分穿越时间运动,仅小部分穿越空间。(b)光子在时间和空间中的运动情况相等。

行星轨道:时间弯曲处于支配地位——行星绕太阳运行的世界线如图E.1(a)所示(实曲线)。图上的垂直虚线代表太阳的世界线(在此参考系中,太阳处于静止状态)。

注意行星轨道与垂直虚线的距离有多近。这告诉我们,行星大多通过时间运动,只有极小部分通过空间运动,这是因为与光速相比,行星的运行速度极慢,所以对于一个给定的时空间隔,它们的dx(空间间隔)数值很小,dt项(时间间隔)占支配地位。

水星预言——就像其他所有行星一样,水星绕日运行的轨道主要是由时间曲率决定的,因此,牛顿定律(与只考虑时间弯曲的情况等价)预测的水星绕日运行轨道与实际情况十分接近。

但是,爱因斯坦同时考虑时间弯曲和空间弯曲的完整演算显示,水星的绕行轨道多了大约0.1角秒。由于水星在100地球年里大约绕太阳415次,因此有:

0.1角秒/圈×415圈=41角秒/世纪

此处的粗略计算已与爱因斯坦水星近日点进动偏移的测算结果,即每世纪43角秒,十分接近。

太阳影响下的光线弯曲:时间弯曲和空间弯曲起相同作用——图E.1(b)所示的是平直时空(零重力)中两个光子的世界线,它们由统一时空地点发射(事件),朝相反方向运动。

因为空间和时间以等价单位(如光年与年)表示,两个光子都以45度角在时空中运动。据物理学家伯纳德·舒兹所言,光子以光速c传播的事实意味着,“dx(空间间隔)对时空间隔项的贡献与dt(时间间隔)相差无几”。

因此,对于引力场中的光线弯曲,空间弯曲与时间弯曲所起的效用相等。因此,牛顿预测(等价于只考虑时间弯曲的情况)的太阳影响下的星光弯曲只为爱因斯坦预测数值的一半——爱因斯坦同时考虑了时间弯曲和空间弯曲。

牛顿和爱因斯坦的预测数值分别为0.875角秒与1.75角秒。爱因斯坦的预言与观测数据高度吻合,证实质能的存在确实可同时弯曲时间和空间。

牛顿万有引力定律等价于只考虑时间弯曲的情况,而这也解释了为何牛顿万有引力定律可在太阳系中成立。因为与光速相比,太阳系中的天体运动速度(及其逃逸速度)十分低缓,因此,只考虑时间弯曲的预测与其实际引力情况十分接近。

上一章 封面 书架 已读完