附录C 能量-动量

附录C
能量-动量

在时空物理中，质量、能量以及动量有一个统一的表达，能量-动量，它是一个矢量（既有大小，又有方向）。由于时空有四个维度（三个空间维度和一个时间维度），因此，能量-动量矢量也有四个维度，通常称为能量-动量四维矢量。

能量-动量的图示见图C.1（为简便，只取一个空间维度）。它包含：

图C.1　能量-动量矢量（二维）
能量和动量随相对运动状态的改变而改变，但质量保持不变。

能量-动量矢量

·能量-时间分量

·动量-空间分量

·质量-能量-动量矢量的大小

能量-动量矢量的大小

能量-动量矢量的大小就是粒子的静止质量。由于静止质量不随运动状态的改变而改变，因此，对于某一给定粒子，其能量-动量的大小是固定不变的。

〔在现代时空阐释中，质量总是指静止质量。从现在开始，当我们使用术语“质量（mass）”，默认指的是粒子的静止质量（rest mass）。〕

能量-动量矢量的方向

粒子能量-动量矢量的方向便是粒子在时空中的方向，也即其世界线的方向。

计算能量-动量的各分量

能量-动量矢量的能量和动量分量可从能量-动量矢量中独立分离出去。对于处于自有飘浮参考系中的两个近距离事件，其能量-动量的时空间隔可分解为四个不同分量：

·实验室时间（观察者参考系中的时间）

·三个相互垂直的空间方向

能量：能量-动量的能量分量为粒子质量乘以其在时间轴上的运动位移，可表示为：

能量=质量×（坐标时间/固有时）

此处：

坐标时间是惯性参考系中的时间间隔，以及固有时是时间单位上的时空间隔。

因此，能量是能量-动量矢量的时间分量。

 

动量：能量-动量的动量分量等于粒子的质量乘以其在空间轴上的运动位移，可表示为：

x中的动量分量=质量×x中的位移/固有时间隔

〔与动量（y）和（z）相似。〕

因此，动量是能量-动量矢量的空间分量。

能量-动量公式

能量-动量矢量中质量、能量与动量的关系与时空间隔相似1，为：

质量平方等于能量平方减去动量平方

m2=E2-p2

粒子的能量-动量独立于任何惯性参考系而存在，因为它是恒定不变的（与恒定不变的时空间隔类似）。不过，其能量分量与动量分量是相对的，不具有绝对数值——它们随相对运动状态的改变而改变。换言之，根据不同的参考系，能量-动量具有不同的能量和动量分量，但总保持相同的大小（质量）。

能量-动量矢量的动量和能量分量公式如下所示。

动量公式：

粒子的动量大小就等于牛顿动量除以洛伦兹变换因子：

P=mv/sqrt（1-v2）

能量公式：

对于静止的粒子而言，其静止能量E0等于其质量：

E0=m

对于在给定（惯性）参考系中处于运动状态的粒子而言，其总能量等于其质量乘以该粒子在时间轴上的位移，可表示为：

E=E0dt/dτ
=E0/sqrt（1-v2）
=m/sqrt（1-v2）①

此处：t为坐标时间（给定惯性坐标系中的时间间隔）

τ为固有时（时间单位中的空间间隔） v为相对速度

在此基础上，我们可推导出动能（即粒子运动的能量）的相对论性公式，具体如下。

动能（牛顿理论）

在牛顿物理宇宙中，动能K等于二分之一乘以粒子质量再乘以其速度的平方：

K=1/2mv2

动能（相对论）

根据爱因斯坦的理论，静止的粒子含有的能量不为零，E0=m，因此，粒子的总能量应等于其静止能量加上由于运动产生的动能K。粒子的总能量E等于：

E=E0+K=m+K

求K，可得：

K=E-m

代入等式①，可得相对论性动能公式：

K=m/sqrt（1-v2）-m=m〔1/sqrt（1-v2）-1〕

在“传统”单位制中，光速c≠1，因此，相对论性动能为：

K=mc2/〔sqrt（1-v2/c2）〕-mc2