在几何学问题上，我可以不用太擅长加法或乘法计算。举例来说，我旋转一个正六边形，使其恰好与原来的图形重合。那么旋转60°和120°就可以做到。所有旋转的集合组成了一个群。交换律在这里也适用：如果我把一个正六边形连续旋转两次，那么在这两次旋转中，先开始哪一次都可以。加法与旋转的关系，抽象一下就是算术与几何的关系。
为了描述数学领域的多种分支，伊恩·斯图尔特教授曾做过一个美妙的比喻，按他的说法，数学是一幅美丽的风景，我们可以在风景之中漫步。作为外行，我们只知道少数景点，而数学家可以在整个画面里更自由地走动，他们可以攀登高峰，享受美妙景色，从山峰上眺望，风景的各个区域组成了一幅完整的画面。
外行常常经过的是数学世界中被多数人走过的、容易走的道路。他们只在此山中，甚至无法透过灌木看到路两旁的风景。而数学的创造者们，勇于进入未知和神秘的地区探险，绘出地图，并建造连通各个地区的路，让人人都能更容易地走进来。这样看来，数学家就像是虚拟世界中的开路先锋。
也许，你应该更能理解：为什么数学家把数学看成一场伟大的冒险，觉得自己是伟大的探索家。生于莱比锡的数学家埃伯哈德·齐德勒（Eberhard Zeidler）也遵循这种探险思想，他把数学称为“精神之眼”。数学就像人类额外的第六感，我们能凭它进入远离日常经验世界的认知领域。
精神之眼这一概念，最早可以追溯到德国数学家埃里希·凯勒（Erich Kähler），他早在1941年就已在论文中使用了“精神之眼”一词。显然，凯勒认为，只要人类使用数学工具来分析世界，那么一切皆有可能：“我们无法预知，这双精神之眼，还能让人类看得多远，看得多深。”
这听起来有点儿令人惶惶不安。说实话，我自己也有那么一点儿怕数学。我们会不会一步步被吸进一个抽象的世界里，彻底失去和现实世界的联系？出于这些顾虑，我高考后决定学习物理专业，而不是数学。
我完全能理解，对于一些数学家来说，数学扮演着神圣的角色。我们的存在充满了未知性和不确定性。但人类却勇于追求永恒，追寻超越我们日常的、生物的、物理的世界。例如，法国人大卫·吕埃勒（David Ruelle）曾表示，数学凭借它的逻辑严谨性和一致性，实现它的持久性和确定性。也许，这也解释了一些数学家对数学的痴迷，他们在工作时，总是看到数学的完美，看到天才般灵光闪现的东西——一种超越现实的体验。
也有许多数学家认为，他们所做的事其实很实用：这儿还有未被解答的谜题，那儿的物理学家、生物学家需要解释一种奇怪的模式，还有，要优化汉莎航空的航班时刻表，减少航班大规模晚点对乘客的影响。
我想说：当你仔细研究数学问题时，才能找到理解数学的最优解。我们不一定要研究最高水平的问题，但至少要研究有创造性思维的问题，而不是那些在课堂里反复被讨论的老掉牙的公式。
从这个意义上来讲，请你睁开眼睛，观察这个世界。如果你能观察得足够仔细，就会发现世界上到处充满了令人激动的数学。