附录22A 投资项目中实物期权的进一步解释
在“实物期权估值框架”一节中，我们着重于三种类型的实物期权：增长期权、递延期权和放弃期权。在本附录中，我们将要了解三种额外的期权：违约期权、收缩期权和关闭期权。我们用图22-9的资本投资项目来说明这三种期权，必要的时候将作出调整。
22A.1 违约期权
在项目的有效期内终止项目的期权称为违约期权。选择不继续投资并简单的放弃项目，在某种程度上，公司违约，并期望这种违约不带来法律问题。我们在“实物期权估值框架”中讨论过，违约期权伴随着与放弃期权相同的收回项目残值的机会。
回想一下，图22-9中该项目的开办费用是1050美元。我们假设该公司可以初始投资400美元，剩下的650美元作为期权可以在下一期投资，但该650美元要以无风险利率增长。因此，该公司在1时刻可以投资650×1.05=682.50美元。如果该公司在1时刻不投资682.50美元，该项目终止，不会产生更多的价值。
回想资本投资项目初始的二叉树（图22-9），在1时刻，项目的价值是1500美元或500美元。如果项目价值1500美元，该公司将确定投资682.5美元，如果公司价值500美元，公司不会投资682.5美元，并将终止项目。因此，在1时刻，项目的价值是1500-682.50=817.50美元，或者0美元。使用风险中性估值，见“实物期权估值框架”，我们将得到项目在0时刻的价值是428.21美元，如下：
在0时刻，要求该公司投资400美元，所以项目的净现值（NPV）是428.21-400=28.21美元。这种情况下，该项目有正的NPV。在“实物期权估值框架”中，不含期权的项目价值是-50美元。含期权的价值是28.21美元。因此，期权的价值是28.21-（-50）=78.21美元。这个问题在图22A-1中做出了解释。
包含期权的该项目具有的吸引力，是推迟投资的能力与当项目在1时刻不可行时选择不继续投资剩余的开办费用的权利相结合的结果。显然，该期权有价值，在这个案例中，它的价值足够将项目从不具价值变为具有吸引力。
图22A-1 包含违约期权的资本投资项目二叉树图解
22A.2 收缩期权
我们在“实物期权估值框架”一节中讨论过扩张期权，而有些项目则提供了收缩的期权。这种期权包括推迟初始投资的期权，包括在稍晚的时间额外投资的期权和缩减项目规模的期权。某些方面，这种类型的期权刚好与增长期权相反。我们来假设一家公司必须在当前投资600美元，剩下的在一期之后投资。因此，1时刻的投资金额由1050-600=450美元增长5%，变为472.50美元。在1时刻，公司同样面临一个期权，即额外投资40美元，使其可以将项目规模减半。也就是说，通过额外投资一些钱，公司就可以避免因项目进展不如预期现金流较少的状况。在实际工作中，这种状况可能表现为公司为了终止某些经营而承受了一些额外的成本。图22A-2是对这种期权的解释。
图22A-2 资本投资项目中收缩期权的二叉树解释
请注意，在1时刻顶部状态，理论上价值1500美元的项目当前价值为1027.50美元。这个值反映了一个事实，即公司必须拖死472.50美元来维持该项目运作。因此，它的当前价值仅为1500-472.50=1027.50美元。显然，另一个替代方案即额外投资40美元将项目规模缩减一半并不是个好主意。在底部状态，如果该公司投资了472.50美元，该项目在1时刻的价值为500美元，也就是说项目的价值仅为27.50美元。相对的，该公司持有期权可以投资40美元将项目规模缩减一半。因此，如果公司额外投资了40美元，项目的价值可以从500美元缩减到250美元。那么，在该时刻项目的价值将达到210美元。
在0时刻，项目价值628.21美元，计算如下：
因为开办费用为600美元，该项目NPV为28.21美元。那么该收缩期权的价值就是28.21-（-50）=78.21美元。
22A.3 关闭期权
大部分运营都包括固定成本和可变成本。公司通常会为了节约可变成本而决定停止经营。由此看来，某些情况下，停止经营是值得的。这种情况可能仅仅是对收缩期权进行一些细微的改变；停止就是缩减100%的规模。然后我们要介绍另一个转机，即可变成本和收入存在的情况。特别的，我们将开办费用变为750美元。将这个支出视作固定成本，都在前期支付。 [1] 然后如果项目投产的话该公司每年发生100美元的运营成本。该项目每年的回报为其市场价值的10%。为了获得这些收入，公司必须支付运营成本。我们同时假设支付这些成本是为了能够在当期停止项目并在下一期继续开启。这样一来，在3时刻，该公司不会发生这些成本，因为项目在下一期不会继续。如果不发生成本就没有收入，但是仍可以获得剩余市场价值。也就是说，剩余市场价值仅仅是不引入这个期权的90%。 [2]
这种情况的本质与NPV值为-50美元的基本案例有根本的不同。因此，我们需要设定一个不含关闭期权的基本NPV。图22A-3表示的是在公司不持有关闭期权的前提下项目的价值。3时刻的数值与图22-9相同。然而在1时刻和2时刻，每种状态都有两个数值。第一个是项目的市场价值，反映了它未来的现金流。在2时刻，这些数值与图22-9中相同。也就是说，在2时刻顶部状态的数值是2250美元，计算如下：
图22A-3 不含关闭期权的资本投资项目二叉树图解
注：每个节点的项目价值下方的数值是其净收入。
总收入是该数值的10%，即225美元。1时刻和2时刻每种状态下方的数值是该项目产生的净收入，由总收入减去100美元运营成本求得。在顶部状态，该数值很简单，是225-100=-125美元。可以发现在2时刻的中间状态，净收入为负，由0.10（750）-100=-25美元。也就是说，经营的商业条件不够有利。然而，现在我们求得了不含关闭期权的价值。在底部状态，经验成本同样超过了总收入。
在1时刻的顶部状态，我们根据下面两个可能的数值求得市场价值为1404.76美元：①净收入125美元，和剩余市场价值2250-0.10（2250）=2025美元，即2时刻顶部状态总价值为2150美元，②净收入-25美元和剩余市场价值750-0.10（750）=67美元，即2时刻中间状态总价值650美元。因此，计算如下：
在1时刻的顶部状态（1404.76美元），收入为0.10（1404.76）=140.48美元。扣除可变成本，得到净收入为40.48美元。在1时刻底部状态可以用同样的方法求得市场价值和净收入。我们用计算1时刻价值的方法得到0时刻的市场价值为814.06美元。减去开办费用750美元，得到NPV为正，即64.06美元。尽管该项目显然可接受，包含关闭期权时它可能更具吸引力，因为能够避免一些负的净收入。
图22A-4展示了包含关闭期权的项目价值。可以发现，我们所做的就是将图22A-3中1时刻和3时刻的负净收益替换为0。通过停止经营避免这些负的现金流，项目的整体价值更高了。通过之前用过的方法，我们发现项目当前，即0时刻的价值为862.63美元。考虑到开办费用750美元，NPV是112.63美元。因此，期权价值为112.63-64.06=48.57美元。很明显关闭期权具有显著的价值，这是常有的事。公司经常在商业条件不利时停止经营，那么这个案例就不是对公司关闭期权的一个不切实际的描述。
图22A-4 包含关闭期权的资本投资项目二叉树分析
注：每个节点的项目价值下方的数值是其净收入。
[1] 我们可以轻易地就将这些成本随时间平摊，但是重要的是这些成本是固定的而且不能避免。
[2] 如果标的资产是股票，市场价值产生的收入就与分红非常接近，尽管我们加入了一个因素，即必须支付确定的成本来获得这项收入，并且如果不发生这些成本，就会失去该收入。