危险的黎曼猜想

8 危险的黎曼猜想

能够引诱数学家出卖灵魂的，只有黎曼猜想。

过直线外一点，可作几条平行线？

欧氏几何说，只能作一条。

罗氏几何 1说，至少可以作两条（无数条也可以）。

黎曼慢悠悠地反问：谁知道平行线相交还是不相交呢？

这场“平行公理”的世纪之争，终结于黎曼几何 2。

黎曼提出：过直线外一点，一条该直线的平行线也作不出来。这个基于球和椭球而得出的“无平行线”结论，成为相对论的数学帮手。

相对论最初的灵感，来源于爱因斯坦意识到引力可能并不是一种力，而是时空弯曲的体现。物理直觉超于常人百倍的爱因斯坦，一直找不到合适的数学工具来表达他的这种想法。如果直接说引力是时空弯曲效应，估计会被吐槽成“物理是体育老师教的”“物理老师的棺材板要按不住了”。所以，直到他从数学界的朋友格罗斯曼 683那里了解到黎曼的非欧几何，相对论才得以提早问世。

爱因斯坦得意地跟全世界说：“如果没有我，50年内也不会出现广义相对论。”这时候，有资格和爱因斯坦站在一起吹牛的，估计也只有数学巨匠黎曼了。

来自“高维世界”的黎曼

黎曼，1826年生于汉诺威（今德国）一个牧师家庭。他的父亲本来希望他学习神学，将来成为一位赚钱的牧师，但是黎曼展现出来的数学天赋，挡都挡不住。

黎曼上中学的时候，老师已经发现这位学生掌握的数学知识远超自己，于是把学校图书馆里那本最厚、积了最多灰的书借给他。这本书就是勒让德的《数论》4。

一个星期后这位学生回来还书，老师有点惊讶：“这本书你看了多少？”

“看完了，理论挺奇妙的。”

老师震惊了，马上就找到了黎曼的父亲：“赶紧把他送到高斯身边去。”

黎曼的人生本来被规划成了一个三流牧师，但因为一个老师的力荐，他走向了一流数学大师的道路。

在黎曼之前，人类对数学和空间的理解都来自《几何原本》5，建立在二维、三维世界的直观体验上。但是在自然界很难看到真正的欧氏几何图形，高山低谷、沧海桑田，都不是完美的几何图形。

随便举个例子：在平坦的空间里，三角形的内角和是180°；但如果空间不是平坦的，而是存在一定的曲率，那么三角形的内角和就视乎它的曲率，大于或小于180°，如图8-1所示。

黎曼似乎来自更高维的世界，一眼就看透了这些缺陷，开始了突破人类想象的高端学术之旅。很多时候人类像二维平面上的蚂蚁，看不到“高”的空间，即便把二维平面弄皱，蚂蚁仍会认为平面是平坦的，只有当这些蚂蚁从皱褶曲面向上爬行时，它们才会感觉到自己被一股看不见的“力”阻碍，但仍然不知道还有空间的概念。黎曼像一个三维人到了二维世界，一眼看出世界并不仅仅是由一些长短线构成的，而是另有天地。

黎曼提出“高维空间”数学理论，古典世界的数学边界被拆除，他的伟大之处在于他引入高维概念后，所有传统数学的规律仍然自洽。他还推断出电力、磁力和引力都是由看不见的“皱褶”引起的，“力”本身并不存在，它只是由几何畸变引起的明显结果。如果细细品读，就会发现这与爱因斯坦提出的广义相对论非常相似。

1865年，黎曼提出了关于空间皱褶的“切口”理论，这是一个世纪以后“虫洞”概念的雏形。2015年的电影《星际穿越》中男主人公进入五维空间，与女儿进行超空间对话，也是黎曼“高维概念”的一个形象展示。

这位体弱多病的数学天才，本来有希望推翻矗立了两千多年的古典几何大厦，只可惜生命之主给他的时间太少。

黎曼猜想与裸奔的互联网

“几何”一直是黎曼的主业，这是一座深不可测的数学殿堂，但我们今天不谈他的主业，而是聊聊他在1859年“闲暇之余”随手丢下的一个猜想。这个猜想使黎曼虽深居简出，却经常出现在人们视野。

这个猜想是存在一类对素数分布规律有着决定性影响的黎曼ζ函数 6非平凡零点。黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上的直线上，即方程的解的实部都是 。

更通俗的数学表达式如下：它的所有非平凡零点都在直线Re(s)=上。后来，数学家们还把这条直线称为临界线（critical line）。

那什么是黎曼ζ函数呢？

黎曼ζ函数 )sς( 是级数表达式在复平面上的解析延拓 7，即 。

这个猜想看似简单，但证明起来十分困难。从历史上看，求多项式的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。

黎曼自己肯定也没有想到，他所提出的这个猜想足足困扰了数学家们一百多年。如果黎曼知道我们纠结至今，一定会花点时间把过程写出来的。

这件事情还得“怪”他的老师高斯 8，高斯有一句座右铭“宁肯少些，但要成熟”，这种低调作风深深地影响着黎曼，使他成了一个惜字如金的学者。

他一生仅发表过10篇论文，但每篇论文都横跨各领域，是一位多领域的先锋开拓者。虽然黎曼不到40岁就去世了，但他仍然显示出惊艳众人的才华。

1859年，黎曼抛出这个不朽的猜想，就是想解决素数之谜。黎曼猜想认为素数是随机均匀分布的，而在密码学中，许多密码系统的安全性依赖于随机数的生成，因而素数在密码学中显得尤为重要。如今，科学家验证到极大的数字依然没有反例，所以证明黎曼猜想其实是在理论上证明了现在的素数加密算法是足够安全的；相反，如果找到一个黎曼猜想的反例，那它很可能打破人们对素数随机均匀分布规律的认知，届时密码界也将产生巨变。

非对称加密算法和素数的关系

和我一样担心着自己银行账户和黎曼猜想的朋友，我们再一起复习一下小学数学。

小于20的素数有多少个？答案是有8个：2、3、5、7、11、13、17和19。小于1000的素数有多少个？小于100万的呢？小于10亿的呢？

观察素数表，你会发现素数数目的增速是下降的，它们越来越稀疏，如图8-2所示。1~100有25个素数，401~500有17个，而901~1000只有14个。如果把素数列到100万，最后一个百数段（999901~1000000）中只有8个素数；如果列到10000亿，最后一个百数段中将只有4个素数，它们是999999999937、999999999959、999999999961、999999999989。

很明显，越到后面，找到素数就越发艰难。

1966年，非平凡零点已经验证出了350万个。

20年后，计算机已经能够算出Zeta函数前15亿个非平凡零点，这些零点无一例外地都满足黎曼猜想。

2004年，这一记录达到了8500亿。最新的成果是法国团队用改进的算法，将黎曼Zeta函数的零点计算出了前10万亿个，仍然没有发现反例。

10万亿个饱含着激情的证据再次坚定了人们对黎曼猜想的信心。然而，黎曼Zeta函数毕竟有无穷多个零点，10万亿和无穷大比起来，仍然只是沧海一粟。黎曼猜想的未来在哪里，人们一片茫然，不得而知。

因此，聪明的数学家就将素数应用在密码学上。毕竟人类还没有发现素数的规律，如果以它作为密钥进行加密，破解者必须要进行大量运算，即使使用最快的电子计算机，也会因求素数的过程时间太长而失去了破解的意义。

现在普遍使用于各大银行的是RSA公钥加密算法 9，其基于一个十分简单的质数事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行质因数分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

“Todd函数”能证明黎曼猜想吗？

证明黎曼猜想真的有那么难吗？

时间告诉我们，这条临界线至少为难了数学界的高智商数学家们一百多年。

1896年，法国的阿达玛抵达猜想的临界线边缘——证明了黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域的内部，同时攻克了刁难人类100年的素数定理。

1914年，丹麦的玻尔与德国的兰道触到了冰山一角，窥得了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。

1921年，英国的哈代开启全副武装模式，直接将“红旗”插上了临界线——证明了黎曼ζ函数有无穷多个位于临界线上的非平凡零点，却并没有对无穷多个占比全部多少进行估算。

1974年，美国的列文森证明了至少有34%的零点位于临界线上。

1989年，美国的康瑞又改进了列文森的推论，重新开启了估算的新篇章，又证明了至少有40%的零点位于临界线上。

……

然而，谁也没能真正搞定黎曼猜想，数学上“无穷大”这只“恶魔”让再多数值证据都微不足道。

直到2018年9月24日，著名数学家阿蒂亚 10向全世界展示了黎曼猜想的证明过程。

89岁的阿蒂亚爵士提出了对黎曼猜想证明方法的一个简单思路，这个灵感来源于他在2018年ICM上提出精细结构常数 11（Fine Structure Constant）的推演，这是一个物理学上长期存在的数学问题。

这一推演过程结合了冯·诺依曼的算子理论 12及希策布鲁赫创立并证明的代数簇黎曼-罗赫定理 13，还应用了Todd函数参与计算，而这个函数是证明黎曼猜想的核心。

阿蒂亚爵士根据Todd函数的性质构建了一个F函数，然后利用反证法：假设那些零点不在临界线上，即不在这条线上，然后用F函数推出了与Todd函数性质相悖的结论。如果Todd函数性质严格成立，那么假设错误，黎曼猜想得证。

就这么简单吗？急忙从“深山老林”里跑出来围观的科学家们推了推眼镜。

毕竟，关于Todd函数本身正确与否，目前学术界还需要一定时间进行考究。而且，在这个领域，阿蒂亚和他的弟子们才是权威，别人想插手也不容易。

那Todd函数再加反证法，真能证明黎曼猜想吗？不少人认为这不够严谨，为那公布的5页纸争议不休，但到现在也没有权威数学家质疑阿蒂亚爵士。而面对本来就是数学界泰山北斗的阿蒂亚，又有多少人有能力来证明他的对与错呢？

对于这点，可借鉴费马大定理被证明时苛刻的审核机制，未来学术界会给予我们答案。

不管最终结局如何，这位89岁的数学家仍难能可贵地为我们提供了一种新思路，这值得我们给予其崇高的敬意。

猜想被证伪会动摇数学大厦吗？

尽管阿蒂亚爵士在2018年的论文中最后表明，用他的方法，精细结构常数与黎曼猜想已经被解决了，不过他只解决了复数域上的黎曼猜想，有理数域上的黎曼猜想还需要再研究。

黎曼猜想如果被证伪会动摇数学根基，这并不是一个“阴谋论”。数学文献中已有一千多条数学命题以黎曼猜想的成立为前提，如果黎曼猜想被证实，所有那些数学命题将可以全部上升为定理；反之，那些数学命题中起码有一大半将成为“陪葬品”。

那些建立在黎曼猜想上的推论，可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠的大厦。

一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是世上极为罕有的。也许正是因为这样的关系，黎曼猜想的光环才变得更加耀眼，也越发让人着迷。“数学界的无冕之王”希尔伯特（Hilbert）曾表示，如果在死后500年能重返人间，他最想知道是否已经有人解决了黎曼猜想？而阿蒂亚自己演讲时则打趣道：“解决黎曼猜想你会出名，但如果你已经是个名人，那就有声名狼藉的风险了。”

因而，阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明对错与否，都将牵一发而动全身，直接影响以黎曼猜想作为前提的数学体系。

结语叫爱神的人得益处

黎曼于1866年7月20日去世，离开这个世界时还不到40岁。

这位与欧拉、高斯、伽罗瓦一样在数学上具有顶尖天赋的人物，虽不幸英年早逝，却走得极为安详与满足。

他并没有意识到自己对这个世界的影响会如此深远，临走之前非常平静，没有挣扎也没有临终痉挛，仿佛饶有兴趣地观看灵魂与肉体的分离。

《素数之恋》一书谈到，他的妻子给他拿来面包和酒，他要妻子把他的问候带给家里人，并对她说：“亲亲我们的孩子。”妻子为他诵读了主祷文，他的眼睛虔诚地向上仰望，几次喘息以后，他纯洁而高尚的心脏停止了跳动。

他长眠在塞拉斯加教区比甘佐罗教堂的院子里，墓碑上写着一段话。

这里安息着

格奥尔格·弗里德里克·伯恩哈德·黎曼

哥廷根大学教授

生于1826年9月17日，布雷斯伦茨

卒于1866年7月20日，塞拉斯加

万事都互相效力

叫爱神的人得益处

1 罗氏几何：一种独立于欧氏几何的几何公理系统，是负曲率空间中的几何。欧氏几何的第五公设“平行公理（过直线之外一点有唯一的一条直线和已知直线平行）”在罗氏几何中被替代为“双曲平行公理（过直线之外一点至少有两条直线和已知直线平行）”，由此罗氏几何独立于欧氏几何。

2 黎曼几何：正曲率空间中的几何，由德国数学家黎曼创立，其采用了另一条新公理取代第五公设，创建了另一种非欧几何。黎曼的新公理认为，“过直线外一点，一条平行线也得不出来”。

3 格罗斯曼：数学家，苏黎世联邦理工学院的数学教授，也是爱因斯坦的朋友和同学。作为微分几何和张量微积分的专家，格罗斯曼在爱因斯坦研究引力方面提供了很多数学方面的帮助，促进了爱因斯坦对数学和理论物理学的独特综合。

4 《数论》：由法国数学家阿德利昂·玛利·埃·勒让德（1752—1833）所著，该书论述了二次互反律及其应用，给出了连分数理论及素数个数的经验公式等。

5 《几何原本》：又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。它是欧氏几何的基础，也是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，内容涉及透视、圆锥曲线、球面几何学及数论等。书中，欧几里得使用了公理化的方法。这一方法后来成了建立知识体系的典范。

6 黎曼ζ函数：主要和“最纯”的数学领域数论相关，它也出现在应用统计学和齐夫-曼德尔布罗特定律（Zipf-Mandelbrot Law）、物理和调音的数学理论中。

7 解析延拓：把区域D和D中的一个解析函数f (z)合在一起，称为一个解析元素，记作(f, D)。若两个解析元素(f1, D1)、(f2, D2)，满足D1∩D2 φ≠φ，∀z∈D1∩D2，f1(z)=f2(z)，则称其中任何一个解析元素是另一个解析元素的直接解析延拓。若有一串解析元素：(f1, D1), ( f2, D2),…, ( fn , Dn )，其中任意相邻两个解析元素是对方的直接解析延拓，则称(fn, Dn)是(f1, D1)的解析延拓（( f1, D1)也 是( fn , Dn )的解析延拓）。

8 高斯：德国著名数学家、天文学家，和阿基米德、牛顿并列，享有“数学王子”的盛名。其成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。

9 RSA公钥加密算法：是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中，RSA被广泛使用。RSA公钥加密算法由罗纳德·李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·阿德曼于1977年共同提出， RSA就是由他们三人姓氏首字母所组成的。

10 阿蒂亚：英国数学家，被誉为20世纪伟大的数学家之一。其给出了阿蒂亚-辛格指标定理；为K理论的发展做出了重要贡献；解决了李群表示论、与规范场有关的代数几何中的若干问题，把不动点原理推广到一般形式。

11 精细结构常数：物理学中一个重要的无量纲数，常用希腊字母α表示。精细结构常数表示电子在第一玻尔轨道上的运动速度和真空中光速的比值，计算公式为 α=e2/(4πε0cħ) （其中e是电子的电荷，ε0是真空介电常数，ħ是普朗克常数，c是真空中的光速）。

12 算子环理论：始于1930年下半年，冯·诺依曼引入并研究了某类算子构成的代数结构，并称之为算子环。他十分熟悉诺特和阿丁的非交换代数，很快就把它用到希尔伯特空间上有界线性算子组成的代数上去，后人把它称为冯·诺依曼算子代数。

13 黎曼–罗赫定理：数学中，特别是复分析和代数几何的一个重要工具，可计算具有指定零点与极点的亚纯函数空间的维数。它将具有纯拓扑亏格g的连通紧黎曼曲面上的复分析，转换为纯代数设置。