欧拉公式：最美的等式

6 欧拉公式：最美的等式

有数字的地方就有欧拉。

在人类的学问里，最接近金字塔顶端的是数学。

不过，世界上只有极少数的人，天生就对数具有强有力的直觉与天赋，这种天赋让他们成为“盗火者”，帮助人类探寻隐藏在宇宙最深处的规律。

在这样一小撮天才之中，欧拉又是出类拔萃的人物，可谓天才中的天才。他的研究几乎涉及所有数学分支，对物理学、力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等都有研究，甚至对音乐都有涉猎！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等都是以欧拉的名字命名的，其中最有辨识度的，应该是欧拉公式。

这个公式将5个数学常数0、1、e、i、π简洁地联系起来，同时也将物理学中的圆周运动、简谐振动 1、机械波 2、电磁波、概率波 3等联系在一起……数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

“一笔画”解决哥尼斯堡七桥问题

18世纪东普鲁士首府——哥尼斯堡，是当时名噪一时的宝地，不仅诞生了伟大人物哲学家康德，还有知名景点普雷格尔河。

这条河横贯其境，可把全城分为如图6-1所示的四个区域：岛区（A）、东区（B）、南区（C）和北区（D）。

其间还有七座别致的桥，横跨普雷格尔河及其支流，将四个区域连接起来，引得游客络绎不绝。游玩者都喜欢做这样一个尝试：如何不重复地走遍七桥，最后回到出发点。

然而，几乎每个尝试哥尼斯堡七桥问题的人，最后都精疲力竭，垂头丧气，他们发现不管怎么绕，路线都会重复。

当时数学巨人欧拉刚右眼失明，内心十分苦闷，但看到周围的居民竟都为这个问题如此抓耳挠腮，觉得很有意思。因为就算不用脚走，照样子画一张地图，把全部路线都尝试一遍也能使人心力交瘁，毕竟各种路线加起来有种。

为解决这个问题，欧拉巧妙地把它化成了一个几何问题，将四个区域缩成四个点，以A、B、C、D四个字母分别代替四个区域，然后桥化为边，得到了如图6-2所示的七桥几何图。

再简化后，就变成如图6-3所示的七桥简化图。

这样，七桥问题摇身一变，成了孩子们最爱玩的一笔画问题。如果能在纸上一笔画完，又不重复，这个问题也就解决了。

整整一个下午，欧拉躲在屋子里闭门不出，桌上满是丢弃的纸团，复杂的线条像扯不清的毛线。过了许久，沾满铅笔屑的手指终于离开了欧拉的脸颊，他发现对于一个可以“一笔画”画出的图形，首先必须是连通的；其次，对于图形中的某个点，如果不是落笔的起点或终点，那么它若有一条弧线进笔，必有另一条弧线出笔，如图6-4所示。也就是说，交汇点的弧线必定成双成对，这样的点必定是偶点（由此点发出的线的条数为偶数的顶点）；而图形中的奇点（由此点发出的线的条数为奇数的顶点）只能作为起点或终点。在此基础上，欧拉最终确立了著名的“一笔画原理”，即一个图形可以一笔画的充分必要条件为：图形是连通图，以及奇点的个数为0或2。

显然，从图6-3中，我们可以看到奇点的个数为4，不符合条件。多少年来，人们费尽心思试图寻找的走遍七桥而不重复的路线，其实根本就不存在。

将七桥问题转化为一笔画问题，是一个把实际问题抽象成数学模型的过程，这当中并不需要运用多么深奥的理论，但能想到这一点，却是解决难题的关键。后来，我们将此种研究方法称为数学模型方法，而这也是欧拉作为18世纪伟大的数学家异于常人之处。

多面体欧拉公式透视几何之美

1736年，《哥尼斯堡的七座桥》论文发布，这个有趣的问题被后人视为图论及拓扑学的最初案例，而这时，欧拉年仅29岁。

当然，这对于13岁考入名校，15岁本科毕业，16岁硕士毕业， 19岁博士毕业，24岁成为教授的欧拉来说，只是基本操作。即使年纪轻轻就不幸地被夺走了有形之眼，但他始终拥有那双透视几何之美的无形之眼。

继解决七桥问题之后，作为拓扑学的奠基人，欧拉还提出了拓扑学中最著名的定理——多面体欧拉定理，即对于简单凸多面体来说，其顶点数V、棱数E及表面数F之间的关系符合V-E+F=2。

例如，如图6-5所示，一个正方体有8个顶点，12条棱和6个面，代入拓扑学里的欧拉公式中，显然8-12+6=2。

这个定理神奇地体现了简单多面体顶点数、棱数及面数间的特有规律，并再次证实了欧几里得证明的一个有趣事实：世上只存在五种正多面体。如图6-6所示，它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

后来，为了洞悉其他多面体的特有规律，如对于油炸圈饼状的多面体来说，V-E+F=0，并不等于2，如图6-7所示。现在，V-E+F也被称为欧拉示性数，它是一个拓扑不变量 4，用以区分不同的二维曲面。球面的欧拉示性数永远为2，油炸圈饼状曲面的欧拉示性数永远为0。

拉扯微积分长大成人

欧拉作为史上非常多产的数学家，孜孜不倦地共写下了886本（篇）书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。后来，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年。

然观其一生，在欧拉的所有工作中，首屈一指的还得论对分析学的研究，其成功地拉扯着牛顿和莱布尼茨的“孩子”——微积分长大成人，被誉为“分析的化身”。

比起牛顿和莱布尼茨这两位“微积分之父”，欧拉这个养父显然敬业得多，一连出版《无穷分析引论》 （1748）、《微分学》（1755）和《积分学》（共三卷，1768—1770）三本书，堪称微积分发展史上里程碑式的著作，并且在很长时间内一直被作为分析课本的典范而普遍使用。

其中，《无穷分析引论》中给出了著名的极限 5 x e ，而复变函数论里的欧拉公式eiθ=cosθ+i sinθ更是在微积分教程中占据了重要地位。这个公式把微积分的三个极为重要的函数联系在了一起，而这些函数正是人们研究了千百年的课题！

指数函数exp(x)，可等价写为ex，这是微积分中唯一一个（不考虑乘常数倍）导数和积分都是它本身的函数。而三角函数中的余弦函数cosx和正弦函数sinx则是微积分中的“榜眼”和“探花”。阿尔福斯曾感慨：“纯粹从实数观点处理微积分的人，不指望指数函数和三角函数之间有任何关系。”欧拉却能独具慧眼地将三角函数的定义域扩大到复数 6，从而建立了三角函数和指数函数的关系。

更直观地理解，我们可以到复平面上看，θ代表平面上的角，把eiθ看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，而cos θ+i sin θ也是通过复平面的坐标来描述的单位圆上的点，二者是同一个点不同的描述方式，所以有eiθ=cos θ+i sin θ，如图6-8所示。

后来，我们还会在各个领域看到这个公式带来的变体，如在经济学中的演变：专用来求解消费者的需求函数 7或生产者的生产函数，而这是整个微观经济学的基础。

遥想当年，牛顿、莱布尼茨创立的微积分基础不稳，应用有限，主要还是从曲线入手对微积分进行研究。而欧拉却与一批数学家拓展了微积分及其应用，产生一系列新的分支，并将它们共同形成“分析”这样一个广大领域，同时明确指出，数学分析的中心应该是函数。

自此，18世纪的数学形成了代数 8、几何、分析三足鼎立的局面，而工业革命以蒸汽机、纺织机等机械为主体的运动与变化，也得到了最适合的数学工具进行精确计算。

史上最美的等式

欧拉公式虽然不如质能方程和万有引力那样可以改变人类的历史进程，却展示了欧拉独特的“数学审美”。

如果取一个特殊值，令θ=π，代入复变函数论里的欧拉公式eiθ=cos θ+i sin θ中，可得eiπ=cos π+i sin π，即eiπ=-1+0。该等式极具号召力地将数学中非常重要的五个常数0、1、π、e和i齐聚一堂，并以一种极其简单的方式将数学上不同的分支联系起来，这个融合了数学五大常数的公式也被誉为“史上最美妙的公式”。

0和1是最简单的两个实数，是群、环、域的基本元素，更是构造代数的基础。任何数与0相加都等于它本身，任何数与1相乘也都等于它本身，有了0和1，就可以得到其他任何数字。

无理数π在引爆数字狂热的同时，隐藏着世界上最完美的平面对称图形——圆。π在欧氏几何学和广义相对论中无处不在，有了π，就有了圆函数，即三角函数。

无理数e是自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，四处可见其身。有了e，就有了微积分，也就有了和工业革命时期相适应的数学。

甚至，连数学的“隐士高手”虚数单位i也在其中，其是-1的平方根，也是方程x2+1=0的一个解。有了i，就有了虚数，平面向量 9与其对应，也就有了哈密尔顿的四元数 10。在欧拉之后的未来，虚数还成为引发电子学革命的量子力学的理论基础。

还有运算符号“+”和关系符号“=”含于等式中。减法是加法的逆运算，乘法是累计的加法……有了加号，就可以引申出其余运算符号；而等号则在我们最初接触算术时，便教会了我们世上最重要的一种关系——平衡。

欧拉恒等式仿佛一行极为完美而简洁的诗，道尽了数学的美好，数学家们评价它为“神创造的公式，我们只能看它却不能完全理解它”。这个公式在数学领域产生了深远的影响，如三角函数、泰勒级数、概率论、群论等。就连数学王子高斯也不得不承认：“欣赏不了它的人，一辈子都成不了一流的数学家。”此外，欧拉公式对物理学的影响也很大，如机械波论、电磁学、量子力学等都匍匐在它的脚下。

结语致敬“所有人的老师”

60岁时，欧拉不幸双目失明，但他依旧运用强大的记忆力和心算能力，通过口述形式完成了四百多篇论文，独自创立了刚体力学、分析力学等新学科。

法国大数学家拉普拉斯曾感慨：“欧拉是所有人的老师。”

而这不仅仅是因为几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、数论的欧拉函数、变分法的欧拉方程、复变函数的欧拉公式……

也不仅仅是因为他的创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用，更是因为欧拉为我们留下极其珍贵的科学遗产时，还展现了为科学献身的精神。在极少天赋异禀的天才之中，我们很难再见到有一人像欧拉这般一生勤勉而顽强，不曾因失明而停止前进的步伐，甚至保持充沛的精力到最后一刻。

在欧拉所有的成就中，极富灵气的eiπ+1=0不是他最重要的成就，而是史上最独特的公式。

1 简谐振动：物体在与位移成正比的回复力作用下，在其平衡位置附近按正弦规律作往复的运动。

2 机械波：机械振动在介质中的传播称为机械波。机械波与电磁波既有相似之处又有不同之处，机械波由机械振动产生，电磁波由电磁振荡产生；机械波在真空中根本不能传播，而电磁波（如光波）可以在真空中传播；机械波可以是横波和纵波，但电磁波只能是横波；机械波与电磁波的许多物理性质，如折射、反射等是一致的，描述它们的物理量也是相同的。常见的机械波有水波、声波、地震波。

3 概率波：空间中某一点在某一时刻可能出现的概率。这个概率的大小取决于波动的规律。因为爱因斯坦提出了光子具有波粒二象性，德布罗意于1924年提出假说，认为不只是光子才具有波粒二象性，包括电子、质子和中子等在内的所有微观粒子都具有波粒二象性。

4 拓扑不变量：无论怎么经过拓扑变形也不会改变的量。

5 极限：数学中的分支，也是微积分的基础概念。数学中的极限指某一个函数中的某一个自变量在不断地逼近A（可以是某个数，也可以是无穷大∞）时，函数值也不断地逼近B （可以是某个数，也可以是无穷大∞）。

6 复数：把形如z=a+bi（a, b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于0时，这个复数可以视为实数；当虚部不等于0，实部等于0时，常称z为纯虚数。

7 需求函数：一种商品的市场需求量Qd与该商品的价格P的关系是降价使需求量增加，涨价使需求量减少，因此需求量Qd可以看作价格P的单调减少函数，称为需求函数，记作Qd=d (P)。

8 代数：研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。

9 平面向量：在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称为矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a、b、c等字母上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

10 四元数：简单的超复数。复数是由实数加上虚数单位i组成的，其中i2 = -1。相似地，四元数是由实数加上三个虚数单位i、j、k组成的，它们有如下关系：i2= j2 = k2 = -1，ij =-ji = k，jk = -kj =i，ki= -ik=j，每个四元数都是1、i、j和k的线性组合，即四元数一般可表示为a + bi + cj +dk，其中a、b、c、d是实数。