万有引力：从混沌到光明

5 万有引力：从混沌到光明

天不生牛顿，万古如长夜。

天地玄黄，宇宙洪荒，日月盈昃，辰宿列张……

在牛顿之前，人类认为这一切都掌控在神的手中；而牛顿之后，人类才知道，天地之间存在万有引力，它可以解释星辰运转。

宇宙和万物找到了统一规律，物理学第一次达到了真正的统一。

所以有人说：道法自然，久藏玄冥；天降牛顿，万物生明。

而后，以牛顿为代表的机械论之自然观，在整个自然科学领域里占据了长达两百多年的统治地位，现代科学由此形成。

牛顿的苹果

1727年，牛顿逝世，英国以国葬规格将他安葬于威斯敏斯特大教堂。

出殡那天，抬棺椁的是两位公爵、三位伯爵和一位大法官，前来送葬的人将街道堵得水泄不通。在大家合唱的哀歌中，世界与这位科学巨人告别。

送别的人群之中隐藏着一位尚不为人知的小人物，他就是逃难到英国的伏尔泰 1，他被现场的情景震撼到了，暗暗发誓一定得弄清牛顿是何许人也，到底取得了怎样惊人的成就？为什么能够得到如此的敬重和仰慕？很长时间内，伏尔泰在英国就做了一件事，每天到处找牛顿的亲戚朋友询问，牛顿到底是如何“一举命中”万有引力这一伟大成果的。

伏尔泰的纠缠使牛顿的外甥女婿不胜其烦，他告诉伏尔泰，这是因为有个苹果砸中了牛顿的脑门，然后，牛顿就开窍了。于是伏尔泰便摇晃着他的大脑袋，十分满意地走了，他把这个故事写进了书里，牛顿和苹果的故事就这样在世界各地传播开来。

那棵苹果树真的存在吗？如果存在，那棵树应该长在英格兰的伍尔斯托帕，牛顿家的老宅内。1666年，牛顿在剑桥读书，正值“黑死病 2”横行，两个月内致使5万人死亡，吓得22岁的牛顿赶紧躲回乡下老家。乡下的生活平静而踏实，不似在城里那么忙碌，牛顿就坐在苹果树下深度冥想。在短短的18个月内，他思考数学问题、进行光学实验、计算星体轨道、探索引力之谜……牛顿生平最重要的几项成就都在这一年半的时间内完成。他在日记里写道：“那时我正处于发明创造的高潮，我对数学与哲学的关注超过了那以后的任何时候。”后来，1666年也被称为牛顿的奇迹年。

跨越千年的神秘主宰之力

像牛顿这样一闲下来就思考行星的运动，是人类祖先常干的事，而且越聪明的人越喜欢思考这个问题。

太阳为什么东升西落？月亮为什么阴晴盈缺？茫茫宇宙，又是什么神秘的力量让那么多的天体不打架，不迷路，不拉拉扯扯，乖巧地沿着各自的轨道有序运转？

大部分人对这冥冥之中的自然主宰之力保持敬畏，少部分离经叛道的智者想一窥天人奥秘。

古希腊出了许多伟大的哲学家，他们一个个都自认为上知天文下识地理，动不动就在广场上展示自己的哲思和智慧。亚里士多德更是理直气壮地下结论：地球是宇宙的中心，其他的天体都围绕着地球转，且运动轨迹是圆形的。

后来，这些智者谦虚了一些，托勒密发展了“地心说”，认为天体最外层有个天称为原动天，也称最高天（图5-1）。在这个最高天上生活着第一推动者，即上帝，他推动着所有行星一个接着一个转动。

这样的宇宙学观点得到了教会的支持——人类是神的宠儿，万物以人类为中心。这种观点既满足了宗教方的诉求，也满足了人类的自尊心。所以，“地心说”延续了一千多年，直到生具慧眼的哥白尼提出“日心说”，从科学原理上解释了地球在太阳系的实际地位。但胆小怕事的哥白尼迫于宗教压力，直到古稀之年才出版《天体运行论》，在人生终点做了一回离经叛道之事。

哥白尼去世后，开普勒根据老师第谷的观测资料，计算出行星的轨道不是正圆，而是一个椭圆（图5-2），从而推导出开普勒第二定律，这个定律对人类认识宇宙运行规律做出了重大贡献。如图5-2所示，行星在相同时间扫过相同的面积（阴影部分），其中a、b为曲线段长度，A、B为阴影面积，t1、t2、t3、t4为时间。

在研究天体运行的过程中，开普勒认为存在一种力让行星在椭圆轨道上运行，但那不是宗教里所说的上帝。占星师出身的开普勒虽然表面上是一个“神棍”，但骨子里根本就不相信那一套理论。那这个力到底是什么呢？地球与太阳之间的吸引力和地球对周围物体的引力是否是同一种力，又是否遵循着相同的规律？这些问题，开普勒没有能力给出答案。

开普勒定律诱发的引力证明

开普勒为宇宙天体学打开了一扇窗户，人类对行星运动规律的引力研究开始走向正轨。早在1645年，法国天文学家布里阿德（Bulliadus）就提出了引力与距离的平方成反比关系的猜想，后来人们根据开普勒第三定律，推导出这个结论是正确的。

但问题是力和距离的平方成反比，能否推出轨道一定是一个椭圆，并且满足开普勒第一定律和第二定律？大部分人都苦于数学不好，无法给出“从平方反比关系得到椭圆轨道运动”的严格证明。例如，英国著名的物理学家胡克是牛顿的对手，一直梦想着推翻牛顿的理论，他声称自己给出了“力和距离的平方成反比”的证明，却一直没有公布证明过程。

他的声明惊动了哈雷，于是哈雷隔三岔五地往胡克家跑，但胡克怎样也不肯把自己的证明手稿拿出来。时间久了，哈雷也厌烦了，他感觉胡克在吹牛。

1684年，哈雷到剑桥登门拜访胡克的对手牛顿。牛顿说自己在五年前就证明了这个问题，哈雷惊喜万分，赶紧声称要出资帮助牛顿整理证明手稿并出版。被哈雷鼓动而斗志昂扬的牛顿也很配合，立马整理了《论运动》手稿，运用开普勒三定律、从离心力 3定律演化出的向心力 4定律、数学上的极限概念、微积分概念及几何法，证明了椭圆轨道上的引力平方反比定律。

1687年，牛顿在哈雷的资助下正式出版《自然哲学之数学原理》，这本书给牛顿带来莫大名声，确立了其“英国科学界第一人”地位，而万有引力的全貌也在此书中首次被披露。

人类追寻了千年的“神秘之力”在此豁然开朗，全部功劳都将归于牛顿一人。胡克很不服气，要求牛顿至少在书的前言中提及他的贡献，毕竟他对“万有引力”确实有发现权。胡克在1674年发表过一篇有关引力的论文，还写信告诉过牛顿引力反比定律。没想到，牛顿毫不在意，反而回到家后立即把书中涉及胡克的引用通通删除。这场针锋相对的“万有引力”之争也由此成了科学史上著名的公案。

但是，胡克只提出了行星与太阳之间引力关系的猜想，而牛顿却能利用自己创立的微积分证明这个猜想，并将万有引力定律推广到宇宙间一切物体。在牛顿的猜想中，地上的苹果与天上的行星受到了同种力的作用。因为月球在轨道上运动的向心加速度 5与地面重力加速度 6的比值等于地球半径平方与月球轨道半径平方之比，即 。

现在，我们知道地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种力。牛顿把天地万物统一了起来，这样宏大的格局是胡克难以达到的。

扭秤巧测引力常量G

可惜，牛顿虽然用严谨的数学推出了万有引力，却始终没能得出万有引力公式中引力常量G的具体值。因为对于一般物体而言，它们的质量太小，在实验中很难准确测出它们之间的引力；而天体之间的引力很大，却又很难准确测出它们的质量。

直到一百多年后，卡文迪许成功利用扭秤给G定量，这才使万有引力定律形成了一个完善的等式。否则，万有引力或许就失去了应用价值，毕竟当时连牛顿自己也无法利用万有引力公式计算出地球的质量。从这个角度看，万有引力的真正意义就在于万有引力常数。

1789年，卡文迪许机智地利用光的反射，巧妙放大了微弱的引力作用。他将两个质量相同的小铁球m分别放在扭秤的两端（图5-3），扭秤中间用一根韧性极好的钢丝把一面小镜子系在支架上，然后用光照射镜子，光便会被反射到一个很远的地方，这时要做的就是立马标记光被反射后出现光斑的位置。

接着，用另外两个质量相同的大铁球m′同时吸引扭秤两端的小铁球m。在万有引力作用下，扭秤会微微偏转，光斑的位置却移动了较大的距离。由此，卡文迪许测算出了万有引力公式中的引力常数G的值为6.754×10-11N·m²/kg²。

这个数值G至今仍十分接近国际的推荐标准G=6.67259× 0-11N·m2/kg2（通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2）。在这之后，对于两个物体之间的万有引力，我们可用如图5-4所示的公式表示。

F1、F2 ：两个物体之间的引力。

G：万有引力常量。

m1：物体1的质量。

m2：物体2的质量。

r：两个物体（球心）之间的距离。

依照国际单位制规定，F的单位为牛顿（N），m1和m2的单位为千克（kg），r的单位为米（m），常数G近似于6.67×10-11N·m²/kg²。

从上述公式中，我们可以直观地看出引力只与物体的质量、距离有关，如果这两者都不变，任凭沧海桑田，万有引力F也将恒定不变。所以，那句“你重或者不重，力就在那里，不增不减”是相当不靠谱的，当物体的吨位增大而距离不变时，F也“只增不减”。

万有引力黯然失色之时

科学家根据万有引力计算出太阳系的海王星和冥王星，使万有引力定律的地位一度登上巅峰，所有人都惊叹于万有引力对行星轨道的精确计算，这让大家都相信世间万物都遵循着这一定律自洽运转。

没有上帝，我们也能明了日月星辰、宇宙洪荒的运转规律，人类的自信心爆棚。

不过万物皆有局限，万有引力亦有边界，随着人类对自然宇宙的解读，发现万有引力定律并非万能，它也有无法触及的灰暗地带。

19世纪末，科学家们发现水星在近日点的移动速度比理论值大，即水星轨道有旋紧。然而当人们用万有引力定律试图解释这种现象时，却发现毫无说服力，牛顿的理论失灵了。

不久后，爱因斯坦的广义相对论出现了，它正确解释出水星近日点每100年会出现43角秒的漂移，并且还能解释引力的红移和光线在太阳引力作用下的弯曲等现象。经典引力理论在广义相对论引力理论光芒的照射下，黯然失色。

经典的万有引力定律公式，其实可以用更加精密的相对论来表述。引入引力半径 ，G、m分别表示引力常量和产生引力场的球体的质量，其中c为光速，R表示产生力场球体的半径，若，则可用牛顿引力定律。对于太阳， ，应用牛顿的引力定律毫无问题。对于白矮星， ，仍可使用万有引力定律。

但向外延伸到黑洞、宇宙大爆炸等宏观领域，万有引力就有心无力了，远不如广义相对论。它只适合在低速、宏观、弱引力的地方征战驰骋，一旦跑到高速、宇观与强引力的场所就会不再适用。

结语从混沌到光明

万有引力就像超级望远镜，能看清哈雷彗星、海王星、冥王星；又如一杆巨秤，能称出太阳、地球等庞大天体的质量。

宇宙之门被它打开，天体运动的规律从此无处遁形。不管是我们熟悉的潮汐现象，还是藏在太阳系深处的行星，都逃不出万有引力的“手掌心”。

万有引力的出现，为人类建立起了理解天地万物的信心，使人们不再盲目崇拜神明，相信自我拥有改变世界的力量。正如物理学家冯·劳厄所说：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，自然科学成为智者心中的精神王国！”

1 伏尔泰：法国启蒙思想家、文学家、哲学家。18世纪法国资产阶级启蒙运动的泰斗，被誉为“法兰西思想之王”，其主张开明的君主政治，强调自由和平等，代表作有《哲学通信》《路易十四时代》《老实人》等。

2 黑死病：人类历史上最严重的瘟疫，致病源是鼠疫杆菌，死亡率极高。

3 离心力：一种虚拟力，也是一种惯性力，它使旋转的物体远离它的旋转中心。在牛顿力学里，离心力曾被用于表述两个不同的概念，即在一个非惯性参考系下观测到的一种惯性力，也是向心力的平衡。在拉格朗日力学下，离心力有时被用来描述在某个广义坐标下的广义力。

4 向心力：当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力。“向心力”一词是从这种合外力作用所产生的效果而命名的。这种效果可以由弹力、重力、摩擦力等任何一力而产生，也可以由几个力的合力或其分力提供。

5 向心加速度：反映圆周运动速度方向变化快慢的物理量。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。

6 重力加速度：一个物体受重力作用的情况下所具有的加速度，也称自由落体加速度，用g表示。其方向竖直向下，大小可由多种方法测定。