2.8　单位圆上的有理点

2.8　单位圆上的有理点

第二天放学后，教室里只剩下我和米尔嘉。

“找到‘某个无数存在的东西’，就没这么难了。”米尔嘉站在黑板前，说是要用有趣的方法证明“单位圆上存在无数个有理点”。

米尔嘉捏着粉笔，在黑板上慢慢地画了一个大圆。我用眼睛追着那美丽的轨迹。

“首先再来确认一次问题。”米尔嘉说。

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首先再来确认一次问题。设（x, y）为平面坐标上的一个点，则方程式 x2 + y2 = 1 表示以原点为中心，半径为 1 的圆。在这个圆上“存在无数个有理点”，就相当于方程式 x2 + y2 = 1“存在无数个有理数解”，这两个命题是等价的。

现在，通过圆上的点 P (-1, 0)，以 t 为倾角画一条直线 $\ell$ 。

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因为倾角为 t 时直线通过点 T (0, t)，所以直线 $\ell$ 的方程式如下。

y=tx+t

排除直线 $\ell$ 与圆相切于点 P 的情况，除点 P 之外，直线 $\ell$ 一定还与圆上另一点相交。我们称这个交点为 Q。要用 t 来表示点 Q 的坐标，只要解开下面的联立方程式即可。因为联立方程式的解就等于方程式所表示的图形的交点。

解这个联立方程式。

因为 $t^2+1\neq0$ ，于是这就变成了一个关于 x 的二次方程式。虽然用二次方程式的公式来解也可以，不过由点 P (-1, 0) 的 x 坐标可知， x = -1 是这个二次方程式的一个解。所以可以像下面这样，提出 x + 1 这个因式。

$(x+1)\cdot\Bigl((t^2+1)x+(t^2-1)\Bigr)=0$

该式与下式是等价的。

x + 1 = 0　或者　(t2 + 1)x + (t2 - 1) = 0

因此可以像下面这样，用 t 表示 x。

$x=-1,\quad\frac{1-t^2}{1+t^2}$

如果使用直线方程式 y = tx + t，也可用 t 表示 y。因为 (x, y) = (-1, 0) 不是点 Q，所以我们只研究 $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ 的情况。

$\begin{aligned}y&=tx+t\\&=t\biggl(\frac{1-t^2}{1+t^2}\biggr)+t\\&=\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}+t\\&=\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}+\frac{t(1+t^2)}{1+t^2}\\&=\frac{t(1-t^2)+t(1+t^2)}{1+t^2}\\&=\frac{2t}{1+t^2}\end{aligned}$

这样就得到 $x=\frac{1-t^2}{1+t^2},y=\frac{2t}{1+t^2}$ 。这就是点 Q 的坐标，即

$\biggl(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\biggr)$

那么，我在想能不能把圆上的有理点和“某个无数存在的东西”一对一对应呢？现在我们关注 y 轴上的点 T。使用点 T 的 y 坐标 (t)，通过加减乘除运算即可得到点 Q 的坐标。也就是说 —— 如果点 T 是 y 轴上的有理点，那么点 Q 也是有理点。这是因为将有理数进行加减乘除运算得到的还是有理数。可以通过自由变换 y 轴上的无数个有理点得到点 T，点 T 不同，交点 Q 也不同。综上所述，这个单位圆的圆周上存在无数个有理点。

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解答2-2

以原点为中心的单位圆上，存在无数个有理点。

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“原来如此……”我说。

“你还没发现吗？”米尔嘉说。

“什么？”

“今天你还真迟钝啊，我是说泰朵拉。”

“我没跟她一起吃午饭啊。”翻什么旧账啊？

“我不是问你那个，你没看见泰朵拉的卡片吗？将 a, b, c 设为自然数，考虑勾股定理 a2 + b2 = c2，两边同时除以 c2，会出现什么？”

$\Bigl(\frac{a}{c}\Bigr)^2+\biggl(\frac{b}{c}\biggr)^2=1$

“啊！ $(x,y)=(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ 是 x2 + y2 = 1 的解！从勾股定理可以引出单位圆！”

“你要是说‘出现了单位圆上的有理点’就好了。不同的基本勾股数，就对应不同的有理点 $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ 。‘存在无数个基本勾股数’和‘单位圆上存在无数个有理点’是等价的。两张卡片本质上是一个问题。”

“什么？！”我惊呆了。

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“没想到你会这么吃惊，你真的一直都没注意到吗？”米尔嘉说。

没注意到……

泰朵拉的卡片上写着整数的关系。

米尔嘉的卡片上写着有理数的关系。

看了两张卡片，却没注意到是同一个问题……

“真没面子。”我说。

“嗯。搞得你这么失落，我也挺发愁的。把卡片组合不是村木老师的惯用招数吗。老师用两张卡片暗示了谜题。‘调查方程式的解’是代数题，‘用图形来捕捉事物’则是几何题。代数与几何—— 村木老师想让我们看这两个世界。”

“两个世界……”我说。

“‘数星星的人’和‘画星座的人’。这两种人，哥哥你属于哪种？”

在此谷山 - 志村猜想登场。

空前绝后的推测，在毫无关系的两个世界间架起了桥梁。

没错，数学家这帮人，非常喜欢干架桥这种事儿。

——《费马大定理》[2]

2.8 单位圆上的有理点

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