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9.4　自己家

9.4　自己家

晚上。

我在自己的房间里看着村木老师给我的卡片。我设定的问题是这样子的。

问题 9-2

若下面的无穷级数收敛，求它的值。若不收敛，请证明。

$\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{k^2}$

首先，把 $\sum$ 具体地写出来，捕捉式子的感觉。

$\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$

逐项看了看，但是好像不是很简单就能抓住线索的。试试数值计算吧？也就是说，先不管 $\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{k^2}$ 这个无穷级数，而是用具体的 n 来计算 $\sum^n_{k=1}\frac{1}{k^2}$ 的部分和。白天只是一个劲地钻研泰朵拉的卡片了，数值计算也只进行了一点。

$\begin{aligned}\sum^1_{k=1}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad~&=1\\\sum^2_{k=1}\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}\quad\quad\quad\quad\quad~~&=1.25\\\sum^3_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.25+\frac{1}{3^2}\quad\quad\quad\quad~&=1.3611\cdots\\\sum^4_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.3611\cdots+\frac{1}{4^2}\quad\quad&=1.423611\cdots\\\sum^5_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.423611\cdots+\frac{1}{5^2}\quad&=1.463611\cdots\\\sum^6_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.463611\cdots+\frac{1}{6^2}\quad&=1.491388\cdots\\\sum^7_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.491388\cdots+\frac{1}{7^2}\quad&=1.511797\cdots\\\sum^8_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.511797\cdots+\frac{1}{8^2}\quad&=1.527422\cdots\\\sum^9_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.527422\cdots+\frac{1}{9^2}\quad&=1.539767\cdots\\\sum^{10}_{k=1}\frac{1}{k^2}=1.539767\cdots+\frac{1}{10^2}~&=1.549767\end{aligned}$