从我们的术语到标准术语

同类相食机器

课本上称为“泛函”，在第章介绍的。它指的是吞食整台机器吐出来一个数的“大机器”，不同于f（x）≡x2这类较简单的吞食一个数吐出来一个数的机器。例如，下面是三个同类相食机器的例子：

第一个例子是吞食机器f（x）吐出来它在x=a和x=b之间的图形下的面积的同类相食机器。第二个例子是吞食机器f（x）吐出来它在x=a和x=b之间的图形的长度的同类相食机器。第三个是吞食机器f（x），将机器视为无穷多格子组成的向量（即无穷维空间中的一个点），吐出来向量“长度”的同类相食机器。第三个例子的“长度”不是f的图形的长度，而是将捷径公式推广用于无穷维（更详细的讨论参见第N章）。

捷径公式

课本上称为“勾股定理”（对这个公式为何成立的一个简单图形解释，参见开始的插曲1）。这个公式也是课本上所说的“三角恒等式”的来源。例如，由于正弦和余弦就是指长度为1的斜线的垂直和水平长度（参见词条V和H），因此捷径公式告诉我们

（垂直长度）2+（水平长度）2=（总长度）2。

这可以简写为

sin2（x）+cos2（x）=1。

课本上会给源自上面等式的其他“三角恒等式”起多余的名字。例如，如果将上面等式的两边除以cos2（x），可以得到

教科书会用tan（x）表示，用sec（x）表示，这就会变成

tan2（x）+1=sec2（x）。

因此这个所谓的“三角恒等式”其实就是捷径公式，其实就是把V和H的简单组合用各种晦涩的名称隐藏起来。

课本上称为“余弦”。我们用这个词表示“水平（Horizontal）”。相对于水平轴倾斜角度为α的单位长度直线的水平长度为cos（α），我们称之为H（α）。参见V，即课本上说的“正弦”。

倒立

课本上称为“倒数”。例如，3的倒立是。我们不经常使用这个词。不过数学家也不经常用“倒数”。也许两者都可以不要。

无穷放大镜

这个词在标准课本中没有直接的对应，虽然它与局部线性和极限的概念有关。无穷放大镜是一个假想的工具，我们可以用它来无穷放大任何东西。它被用来推动微积分的核心思想：将弯曲的东西无穷放大，看起来就会像是直的。通过想象这个无穷放大的过程，我们可以将涉及弯曲东西的问题化简为涉及微小的直东西的问题，从而可以用更简单的方法解决。详细讨论见第2章。

机器

课本上称为“函数”。在整本书中都有使用。

撕东西显然律

出于好玩取的名字，不常用。课本上称为“分配律”。它将加和乘关联到一起，说的是对于任何数a、b和c，以下式子成立：

a（b+c）=ab+ac，

（b+c）a=ba+ca。

由于乘的顺序无关紧要，因此有ab=ba和ac=ca，因此当a和b都是数时上面的两行是等同的（不过如果a和b表示更抽象的对象，它们可能不等同，后面会简要解释）。我们之所以称之为撕东西显然律，是因为如果将a（b+c）视为长为a宽为b+c的矩形的面积，分配律就可以解释为如果将矩形撕成两半，面积不变。这个术语主要在第1章用。

虽然我们在书中没有深入讨论抽象代数，我们还是可以在更广义的背景下定义“分配律”。一般来说，分配律是一个将两个二元操作以某种方式结合到一起的命题。什么是二元操作？是这样，给定两个对象[1]a和b，二元操作是将两个对象绑定到一起得到第三个对象a★b的一种抽象方式。在抽象代数中，如果以下两条语句对所有对象a、b和c都成立，我们就说二元操作★对另一个二元操作◇可“分配”：

a★（b◇c）=（a★b）◇（a★c），

（b◇c）★a=（b★a）◇（c★a）。

注意其与前面更熟悉的针对数的版本的相似性。在历史上，针对数的版本被先发现，然后才推广到更广义和更怪异的条件。

怀旧装置

课本上称为“泰勒级数”和“麦克劳林级数”。

加乘机器

课本上称为“多项式”。我们取这个名字是因为它们是可以只用加和乘就能描述的机器。加乘机器定义为具有如下形式的任何机器

m（x）≡#0+#1x+#2x2+…+#nxn，

其中符号#i表示固定的数。

捷径

课本上称为“弦”。参见“捷径公式”。

课本上称为“正切（Tangent）”，在插曲6“干掉#”有用到。教科书用缩写tan（x）表示，也就是我们说的。参见词条V和H，也即课本上的“正弦”和“余弦”。

课本上称为“正弦”。我们用这个名字表示“垂直（Vertical）”。这样用是因为角度为α的倾斜直线垂直长度为sin（α），也就是我们说的V（α）。参见词条H，也即课本上的“余弦”。

课本上称为“反正弦”，记为arcsin（x）或sin-1（x），在插曲6“干掉#”有用到。我们用这个名称是因为希腊字母Λ看起来像倒过来的V，而我们用V表示课本上说的“正弦”（参见词条V）。对所有x，机器Λ的定义满足

V（Λ（x））=x　　和　　Λ（V（x））=x。

不过这台机器不是对所有x都有无歧义的定义，因为V重复自身（用数学行话来说，不是“一一对应”）。例如，用标准符号π表示我们在书中说的#，对所有正整数和负整数n，都有V（nπ）=0。因此，与Λ（0）对应的数不是唯一的，因为任何nπ（例如-2π、-π、0、π、2π，等等）都是同等合法的选择。一个常见的传统是将Λ（x）不是定义为V（x）的反函数，而是局限于一个小的实数子集的V（x）的“反函数”或“相反机器”。例如，如果，则机器V（x）不会重复自身；不同输入会得到不同输出。也就是说，对于和之间的所有数x和y，如果x≠y，则V（x）≠V（y）。因此，Λ通常定义为机器V的这个受限版本的“反函数”或“相反机器”。不过这是相当无趣的技术细节。我们发现除了极少数情形，在这本书的大多数背景下没有必要讨论“反函数”。

⊥

在插曲6“干掉#”中有用到，课本上称为“反正切”，通常记为arctan（x）或tan-1（x）。我们取这个名字是因为符号⊥看起来像倒过来的T，而我们是用T表示课本上说的“正切”（参见词条T）。机器⊥定义为满足

T（⊥（x））=x　　和　　⊥（T（x））=x。

课本上称为π。第4章第1节有它的定义，以及为什么我们不采用标准标记的讨论。简而言之：我们称之为#是提醒我们自己它是一个我们根据其性质定义的数，并且在我们知道其具体数值之前就能从概念上利用它（在插曲6“干掉#”中我们最终算出了它的具体数值）。因为大部分读者都很熟悉符号π，称这个概念为π会让我们容易忘记——在我们旅程的大多数时候——我们其实并不“知道”这个数约等于3.14。

[1] 这些“对象”可以是数，也可以是其他东西，例如矩阵（书中没有深入讨论）或函数。