N+1.1.1 认真对待类比

在前面的插曲中，我们注意到了向量和机器的直接关联。在这一章，我们将认真对待这种关联，并在无穷维空间发展微积分——这个领域通常被称为“变分法”。在第N章我们看到，多变量微积分就是根据与单变量微积分一样的简单概念构建的。这里也是一样——变分法的符号操作基本还是和前面一样的——但这里还是有一种与单变量或多变量微积分很不一样的感觉。这个不一样的感觉是前面的插曲中我们认识到的向量和机器的统一所导致的。概念的统一让我们可以在对任何给定公式的两种不同解读之间来回切换，从而变分法的所有公式都可以视为在说两件不同的事情。这给了我们可以往前推进的两层直觉。

这本书到目前为止都不是采用传统方法。利用无穷小，我们尽量避开了极限；我们经常发明自己的术语；我们“反着”讲授这门课，从微积分开始，然后再用它来发明通常被认为是“预备知识”的主题，我们摈弃了以修饰和打磨过的形式呈现数学论证的标准做法，那种做法虽然很优雅，却遮蔽了发现它们的思维过程。

数学：我们试图阐明为什么

作者：只有在未知的特定死胡同中游荡，

数学：并遇到特定的迷惑，才能有特定的发现。

作者：因此没有迷惑

数学：就不会有理解。不过，

作者：虽然这本书到目前都很不传统，最后这一章却会更不传统。虽然变分法背后的思想很美也很简单，传统的讲授方式却没有体现出这种美和简单。在数学课和教科书上讲授变分法的标准方法过于谨慎和形式化（就连相对不那么形式化的应用数学课程也是如此），以至于变分法和学生更熟悉的微积分之间的精确类比几乎从没有清晰展现过。这些思想的标准讲法虽然逻辑正确，谨慎的态度也可以理解，却是教学的噩梦，彻底迷失在“检验函数”“分布”“广义函数”“线性泛函”“弱导数”“变分”等精巧的概念之中。所有这些精巧的概念就其本身来说都是美丽的思想，却比人们掌握背后的思想所需的要复杂得多。我会尽我所能以最简单的方式解释变分法，并在每一步澄清它与我们已知的东西的直接类比。同以往一样，新思想和旧思想之间的类似不是偶然的，这是旧思想为创新者构建新思想提供了原材料的直接结果。