系统化方法

数学家儿子的例子表明：写下所有可以想到的组合并单独观察每一个组合，这是十分聪明的方法。当然，这种系统的处理方法并不总是有效。特别是当组合的数量非常多时，另一种解答方法会让我们更轻松地达到目的。

不过，只要我们系统地分析问题，通常可以减少过多的组合的数量。例如下面这道题：

将自然数1到15写成一行，使这15个数字中的每一个数字都恰好出现一次，并且每两个相邻数字的总和是一个平方数。请你找出所有的可能性！

呼——这看着真难。这是我的第一个念头。连续的15个数字，有太多种可能性了。两个相邻的数字加在一起得到一个平方数，这自然就会产生一个问题：哪些数字适合相邻排列在一起？例如，1适合和3在一起（3+1=22），也适合和8在一起（8+1=32），还适合和15在一起（15+1=42）。2则与7和14相合。

我们最好再仔细观察下面我专门画的表格，也许能找到一些重要提示。

有趣的是，几乎所有数字都有两个搭档，1和3甚至有3个搭档。这一行数中只有8和9分别只有一个搭档，这就是有趣的地方。因为如果8和9只有一个可能的搭档，那么它们就不能排在这一行数的中间，否则它们前面和后面都会有一个数，就有两个搭档了。这两个数都只有一个搭档，因此，8和9只有两个位置可以考虑——这一行的头和尾。

接下来我们马上就会看到胜利的曙光。这行数字要么以8开头，要么以9开头。我们先看一下以8开头的情况，写下它后面的数。如果第一个数是8，那么第二个数就必须是1。再看一眼上面的表格，在1之后，3、8和15都符合。因为这行的开头是8，所以8被排除。这时，还剩下3和15。

如果我们选3，则第四个数字要么是6，要么是13（1已经排除过了）。然后，我们再把这两个数按照上述方法继续排列，但是最后都无解：

8、1、3、6、10、15、1（1重复了！）

8、1、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9（这行数字太短了！）

如果我们第三个数写的不是3，而是15，那么我们就得到了一种正确答案：

8、1、15、10、6、3、13、12、4、5、11、14、2、7、9

当然，我们也可以将这行数反过来，也就是以9开头，8结尾，这样就有了第二种答案，这道题就做完了。

你可能已经发现了，解答这道谜题需要细致缜密的思维。你必须考虑所有的可能性。我们可以在数学中学到像这样的系统防范，还可以将其应用在日常生活和工作中。