有些问题看似完全无法解答，但你不用担心：凭借一些经验、正确的技术和一些技巧，你也可以攻破难题。如果你坚持思考，再加上一点儿运气，你也可以体验到属于自己的“尤里卡”[1]。
每当我看到质数的证明或者高斯计算出100个数之和所采用的技巧时，我就会想：“我本来也能想到的！”但是，我为什么没有想到？那我们又该如何找到这些聪明的解答方法？也许你也会跟我一样提出这些问题。
我不知道你是否具备小高斯或康托尔的才能，但当你刚碰到问题迷迷糊糊、不知用哪种方法解答时，我可以给你一些关于如何着手的小窍门。不过，请你不要指望这是为找到漂亮的解答而普遍适用的指南。不管什么样的创新技术，都不存在为解答问题普遍适用的模板。这也是件幸运的事情，否则数学就会像我们常被灌输的那样百般无聊了。
我们先从“什么是创新”这个问题开始。一般来说，如果一个想法是新的或者包含新颖的元素，并有助于解决现有的问题，那么这个想法就被认为是创新的。我们还可以扩展一下这个描述：你采用全新的方法来解答一道数学问题，这就是创新；巧妙地结合已知的各种方法来解答问题，这也是创新。
法国数学家雅克·阿达马（Jacques Hadamard）在60多年前就研究了数学发现是如何产生的。同时，他还充分利用了昂利·庞加莱（Henri Poincaré）和爱因斯坦的描述。阿达马在他的论文《数学领域中的发明心理学》（The Psychology of Invention in the Mathematical Field）中，区分了4个发现阶段：
1. 准备：我们有意识地积极思考问题，寻求解答。
2. 酝酿：当我们没有立刻找出答案时，即使我们正在做其他不相关的事情，我们的潜意识也会继续研究这个问题。
3. 顿悟：从潜意识里想出来的解答出现在我们的意识当中，我们产生“啊哈”（“尤里卡”）体验。
4. 验证：检验凭直觉找到的解答。当然同时也可以证明，起初看似很有说服力的想法，其实并不一定有效。
特别迷人的就是那些无论以何种方式从潜意识里冒出来的想法。我自己也体验过这样的“啊哈”时刻。通常就在我根本没有思考这个问题时，突然灵光闪现，就想到了答案。虽然答案有时候是错误的，但通常都是正确的。
当然，灵光闪现的一个重要先决条件是，你需要深入地思考问题，不要斜瞟一眼可能在某处已存在的答案。因此，我也建议你，当你在做这本书的题一筹莫展之时，不要立马去翻答案。请你多一点儿耐心，可以先将问题暂时放在一旁。也许第二天早上当你刷牙时，你也会有灵光闪现。
我的经验是：“尤里卡”式的答案，只要它们是正确的，一般而言都非常漂亮。接下来我将给你们一些如何更好更快地解答问题的窍门，再加上一点点运气，你就能培养好的数学意识。