第十章 原子物理
人类对于微观世界运行规律的探索，大多起始于一个基本问题：组成世界的万事万物，是否存在最小的基本单元？
古希腊哲学家留基伯和德谟克利特师徒二人在2000多年前提出了著名的原子论。他们认为万物的本源是原子和虚空，物质最终都可以被分割为一个最基本的单元，叫原子，其余的则是虚空。虚空是原子运动的场所，原子的性质是充实性。说得通俗一点，我们可以把原子当成一个个极小的实心球，它被定义为不可分割的最小个体。
如何证明存在最小单元？留基伯和德谟克利特的理论只停留在哲学层面，要判断是否正确，则需要科学实验的论证。
我们现在都知道，万事万物由原子构成，尽管原子并非是构成万物的最小单位。在如今的科学框架中，原子的存在是在19世纪初，被英国一位名叫道尔顿的化学家兼物理学家证明的。道尔顿证明原子存在的方法并不复杂。当时人们已经知道了，碳和氧结合可以生成两种物质，分别是一氧化碳和二氧化碳。一氧化碳是可燃的，二氧化碳不可燃，这是两种化学性质截然不同的气体。
道尔顿证明了，如果用一些碳和一些氧进行化学反应，同样分量的碳要全部生成二氧化碳，所需要的氧气的质量永远是全部生成一氧化碳所需要氧气的两倍 。也就是说，同样分量的二氧化碳和一氧化碳，二氧化碳的氧含量永远是一氧化碳的两倍。这说明碳和氧结合生成的两种不同物质的性质差异，主要来自氧含量的不同，并且二者氧含量永远是两倍的关系。
这就说明碳与氧反应的时候，一定有一个最小单位， 否则碳可以以任何比例与氧结合。既然等量的二氧化碳和一氧化碳之间，氧含量永远是两倍的关系，就证明了完全从一氧化碳变成二氧化碳，必须要增加一个最小限度的氧含量。由此证明物质必有最小单元 ，我们在化学的层面上定义这个最小单元叫原子。这就是原子论最初的实验证据。
此处道尔顿证明的原子，并非德谟克利特意义上的原子。他只是证明了对应不同的元素，必然存在最小的构成单元，这个单元被定义为该元素的原子。比如氧原子，它是氧元素的最小构成单元。原子物理讨论的原子，都是道尔顿定义的原子。
原子论的进一步证明：布朗运动（Brownianmotion）作为一个化学家，道尔顿首次证明了原子的存在。1827年，苏格兰植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）通过著名的“布朗运动”实验，给出了原子存在的另一个间接实验证据。
图10-1 布朗运动轨迹
布朗把一些花粉撒在平静的水面上，然后用显微镜观察花粉的运动。他发现这些花粉的运动很奇特，它们会随机地做快速的运动，然后又停下，感觉是随机地被弹来弹去。奇怪的是，水面是完全平静的，花粉也没有受到任何可观察到的外力作用，它们为什么会随机地运动起来呢？
布朗运动当时被解释为水分子在做微观运动。这盆水从宏观上看是非常平静的，但是它只要有温度，就说明微观上水分子在做运动。水分子运动的速度越快，则说明温度越高。在同一温度环境下的物体，它所有的分子、原子并非以相同的速度运动，而是有快有慢，它们运动动能的平均值正比于最终的宏观总体温度。
一盆看似平静的水，里面的水分子其实都在运动，并且有少数水分子运动的速度非常快。尽管花粉的大小比水分子大多了，但速度快的水分子还是可以把花粉撞得运动起来。这就是布朗运动对于水分子存在的佐证，水分子就是水这种物质的最小构成单元。在 20 世纪初的时候，爱因斯坦彻底从理论计算的层面揭开了布朗运动的规律，这也是爱因斯坦的又一大重要贡献。
原子不是最小的目前看来，我们似乎证明了德谟克利特的原子论是正确的，但这明显不是终点。德谟克利特的原子论猜想是：万事万物由一种最基本的物质构成，这种最基本的物质叫原子。但道尔顿和布朗运动证明的存在的原子，并不是德谟克利特说的原子。
德谟克利特的原子，是最基本的物质构成单位。所谓基本，是说它们之间的性质应当完全一样 。但实际上，原子是各种各样的，一氧化碳里有碳原子和氧原子，水分子里也有氢原子和氧原子。碳、氢、氧这三种原子的化学性质明显不同，否则不会出现性质各不相同的物质。
如果这些原子之间性质各不相同，它们就不是同一种东西。换句话说，不同的原子内部，一定存在差异。既然内部有差异，就说明这些原子并非构成万物的最小单元，它们一定可以继续被分割。
第二节 原子的内部结构我们虽然已经找到了原子，但不同原子拥有不同的性质，因此它们必有不同的内部结构。既然有内部结构，就应该有比原子更小的基本构成单元。我们现在的目标，是要看看原子里面到底有什么东西。到这个层面，最有希望的就是通过实验的方法把原子敲开，就跟敲碎核桃才能知道里面有核桃仁一样，通过实验的方法看看原子里面有什么。
电子的发现和葡萄干蛋糕模型19世纪科学家们的第一思路，并非原子里面还有什么内部结构，而是认为不同的原子应该体现为不同数量的氢原子的结合。这是因为氢原子是最轻的原子，它可能就是德谟克利特所说的最基本的单元。
氢原子就是德谟克利特说的原子这一普遍认知，被英国科学家约翰·汤姆逊在1897年的一场实验中证伪了，因为他发现原子中还有电子。原子被证明还能分得更小，就是因为电子的发现。电子带负电，它的带电量、质量和体积都非常小。
图10-2 葡萄干蛋糕模型
生活中到处可以碰到电子。比如，我们的生活用电，本质上就是电子在金属线里做定向的运动；冬天天气干燥，易起静电，这些静电其实也是电子的聚集。我们现在知道，电子带的电量都是一样多的，这个电量叫元电荷（elementary charge）。但在19世纪，人们仅仅根据摩擦起电这种现象，无法证明这些电都是电子。约翰·汤姆逊通过对阴极射线（cathode ray）的研究发现了电子的存在，因此他证明了原子有更小的基本组成部分。现在，我们知道原子总体不带电，把带负电的电子刨去，剩下的部分应该带正电荷，并且电量要跟电子带的负电相等，这样原子整体才能呈电中性。
约翰·汤姆逊根据发现的电子，提出了著名的葡萄干蛋糕原子结构模型。他认为电子非常小，就像葡萄干一样，塞在带正电的物质中，于是原子总体呈电中性。
原子核的发现：卢瑟福α粒子（α-particle）散射实验葡萄干蛋糕模型对于原子结构的描述，很快就被推翻了。1911年，英国物理学家卢瑟福通过α粒子散射实验，证明了原子的结构并非像葡萄干蛋糕模型所描述的那样，正电荷分布在整个原子中，而是有一个很小的带正电的内核处在原子中心，这就是原子核，它拥有整个原子的绝大部分质量以及所有正电荷，但是体积却只有原子的几千亿分之一。
卢瑟福想办法把氦气的氦原子里面的电子拔掉，根据电荷守恒定律，就得到了带正电的氦原子核。当然，那时还没有原子核的概念，这正是卢瑟福要去发现的，氦核在当时叫α粒子。
卢瑟福用这些α粒子轰击一块金箔，再去观察α粒子如何与金箔相互作用。可以想到的是，α粒子带正电，它通过金箔的时候，尽管金箔中带负电的电子也会跟带正电的α粒子相互作用，但根据之前约翰·汤姆逊的实验结果，电子的质量太小，大概只是氦原子质量的几千分之一，想象一下，一个乒乓球去跟一个保龄球撞，乒乓球是很难影响保龄球的轨迹的。所以，当α粒子轰击金箔的时候，它与金原子中的电子的相互作用可以忽略不计。剩下的，就应该是α粒子跟金原子中带正电的物质的作用。
如果葡萄干蛋糕模型是正确的，那么α粒子跟金箔作用的过程，就相当于一堆正电荷跟一个带正电的平板的作用。由于电荷之间同性相斥，那么α粒子应该是部分反弹，部分穿透，且穿透的部分和反弹的部分，量是相当的。但是卢瑟福的实验做出来的结果并非如此，他的实验结果是，绝大部分的α粒子穿透了金箔，只有极少部分的α粒子反弹 。这说明原子里大部分的空间其实是空的，原子中大部分的正电荷应该集中在一个很小的区域内，只有α粒子打到这些硬核的时候才会反弹。但是由于硬核的体积太小了，所以只有极少一部分的α粒子会撞到它们，出现反弹。卢瑟福还发现，在大部分通过的α粒子中，还有一些在通过之后有一定角度的偏折，说明硬核是带正电的。
图10-3 卢瑟福α粒子散射实验
因为带电，α粒子跟原子的核心有相互排斥的作用，所以有些α粒子跟金原子的核心不是完全正碰，而是以擦边球的方式擦过去，就会出现一个角度。
卢瑟福用散射实验证明了葡萄干蛋糕模型对于原子内部结构的描述是错误的，原子的结构应当是大部分质量集中在一个非常小的核心，这个核心被称为原子核。原子核带正电，它的电荷数和原子中的所有电子带的负电荷总和等量，使原子对外呈现电中性。
随着实验水平的进步，科学家们彻底弄清楚了原子的结构：原子由原子核和电子构成，电子带负电，围绕原子核运动，原子核的直径大概只有原子直径的十万分之一。论体积，原子核只有原子的几千亿到几万亿分之一，并且原子的绝大部分质量集中在原子核上。
弄清楚了原子里面有什么，下面的问题就变得显而易见了：原子里的电子跟原子核的关系是什么样的？电子和原子核是不动的，还是运动的？如果是运动的，它们的运动规律应该是什么样的？这些问题的答案带动了整个量子力学的发展。
第三节 天体运动的灵感由于原子的绝大部分质量集中在原子核上，电子的质量只是原子核质量的几千或者几万分之一，因此研究电子和原子核的运动，我们可以假设原子核是不动的。这就好像在太阳系中，由于太阳的质量远远大于其他天体，行星都是围绕太阳运动的，所以我们可以认为太阳是固定的。同理，由于原子核比电子重太多了，可以认为原子核是固定不动的，只要讨论电子如何运动就可以了。
库仑力和万有引力除此之外，电子和原子核之间的相互作用力——库仑力的数学形式，跟万有引力也一模一样。
q代表电荷量，r代表两个电荷之间的距离
库仑力，是法国物理学家库仑在 18 世纪末发现的（后人经过对卡文迪许手稿的整理，发现其实卡文迪许早在库仑之前就已经发现了库仑定律，只是并未发表）。两个电荷之间的库仑力，正比于二者电荷量的乘积，反比于二者距离的平方，只是这个比值 k，比引力常量大很多。
万有引力常数 G 的大小是 6.67×10-11 N·m2 /kg2 ，库仑力的强度比值k 的大小是9×109 N·m2 /C2 。库仑力的强度比值在数值上就比引力大了100亿亿倍。我们考虑电子和原子核间的相互作用时，尽管它们都有质量，原则上有万有引力，但由于库仑力比引力大太多，所以可以完全不考虑引力的影响，而只考虑库仑力。
既然库仑力的形式都和万有引力一模一样，可以猜想，电子围绕原子核运动的规律应当和行星围绕恒星的运动规律一模一样，是个椭圆轨道。
天体运动模型存在什么问题？原子核内电子的运动模型存在一个根本问题，就是它不满足能量守恒定律。
19世纪，英国科学家麦克斯韦用他发明的麦克斯韦方程组完全统合了经典意义上的电磁现象。这个方程组描述的电磁规律，总的来说就是电荷会产生电场，电流和变化的电场会产生磁场，变化的磁场也会产生电场，并且还预言了电磁波的存在。
那么问题来了，我们说电子是围绕原子核做圆周运动的，这就表示电子有加速度。速度是一个矢量（vector），它不仅有大小，还有方向。做匀速圆周运动的物体虽然速度大小不变，但是速度方向一直在改变。我们从麦克斯韦方程组中能推论出，一个拥有加速度的电荷会辐射电磁波，电磁波会带走能量。随着能量被带走，电子会逐渐掉到原子核里，与原子核的正电荷中和。这样，原子核的结构就不复存在了，我们应当就区分不出原子核和电子了，但事实是，原子都是稳定存在的。
如果要在保证电子做圆周运动的同时，保证麦克斯韦方程组的正确性，就必须抛弃能量守恒定律 。也就是要强行假设，原子里的电子在辐射电磁波的同时依然维持圆周运动，这是一个明显不符合物理学逻辑的模型。
第四节 玻尔模型（Bohrmodel） 能量最低原理（principle ofminimum energy）原子当中的电子围绕原子核运动，电子辐射电磁波的同时还不会损失能量。这要么不符合能量守恒，要么电子根本就不辐射电磁波。
除此之外，还有更反常识的实验现象发生。为了说明这个实验现象，需要先铺垫一个奠基性的物理学原理——能量最低原理。能量最低原理是指，任何一个物理系统最稳定的状态，是系统能量最低的状态 。所谓最稳定，是说一旦系统受到扰动而偏离这个状态，系统会倾向于自发地回到这个状态。比如，一个水瓶平放的时候能量最低，因为这时候重心最低，重力势能最小。这个时候你若推它，它是不会自己站起来的。相反，站着的水瓶重心高，能量高，轻轻一推就倒了。不倒翁不倒的原理就是把底部做成一定的几何形状，使得你轻轻推它的同时重心升高，能量变高。因此，它自然是愿意回到站立时重心最低的状态，于是就呈现了不倒的性质。
原子光谱有了对能量最低原理的认知，再来看看圆周运动的电子模型有什么奇怪的地方。
我们在“极大篇”的第四章《宇宙的前世今生》中曾经说过，原子的光谱可以帮助我们判断一个天体的质量和它与我们的距离。原子的光谱性质展现了原子内部结构的特性。假设电子围绕原子核的运动规律与天体运动类似，都是做椭圆运动或圆周运动。不同的运动半径，对应不同的电子运动的轨道。在不同轨道中，电子的能量不同。电子离原子核距离越远，能量越高，一个电子从高轨道运动到低轨道，能量应该是降低的。但根据能量守恒，这部分降低的能量不会凭空消失，而是以某种形式转化到别处去了。这里其实是转化成了电磁波的能量，从原子里释放出来。电子轨道变化的能量差，就等于释放出的电磁波的能量。光就是电磁波，只不过可见光在特定频率范围内表现为肉眼可见的各种颜色。
如果电子的圆周运动模型正确，跟天体运动一样，电子离原子核的距离应该可以任意变化。也就是说，电子的能量在一定范围内应该可以任意变动，它可以从高轨道运动到任意一个低轨道。在轨道切换的过程中，不同轨道之间的能量差也应该是任意的，用数学的说法是连续（continuous）的，电子的能量应该在一个范围内，任何值都可以取到。
如果我们把原子的能量人为地升高，譬如通过加热的方式，由于高能量不稳定，根据能量最低原理，电子倾向于向低轨道运动。在向低轨道运动的过程中，原子会释放出电磁波，这些不同频率的电磁波，就构成了原子的光谱。但由于轨道是任意的，在原子数量很多的情况下，它们掉到任意轨道的可能性都存在，因此原子的光谱应该是连续的（continuous），类似于一条彩虹。但真正去做光谱实验，会发现一种原子的光谱只有特定的几个频率，并非所有频率的光都存在，这就从根本上否定了对应光谱是连续的圆周运动模型。
玻尔模型这个问题直到玻尔（Niels Bohr）提出了玻尔模型，才算解决了一半。
玻尔是哥本哈根学派的带头人。玻尔模型能解释氢原子的光谱，并且解释得非常精确。但玻尔模型其实只是把电子的圆周运动模型做了一点儿修改，并且这个修改完全可以说是出于“凑实验结果”的目的。
玻尔模型由丹麦物理学家玻尔和卢瑟福共同提出。这个模型认为，电子与原子核之间依然以库仑力相互作用，电子的确在做圆周运动，只是人为加了一个限定条件，就是当电子以原子核为圆心做圆周运动时，它相对于原子核的角动量必须是量子化 （quantization of angularmomentum）的。角动量=电子的质量×电子的速度×电子运动的半径，角动量的数值不是任意的，只能是普朗克常数的整数倍，即只能以整数为单位变化，而非连续变化，可以是 1，2，3…n，但不能是1.1，1.11 ，1.5之类的数字。
普朗克常数是表征量子力学基本规律的常数，其地位就像万有引力定律中的万有引力常数G一样，且只能通过实验测量获得。譬如我们定义光子的能量=普朗克常数×光子的频率，其实普朗克常数就是现有的国际单位制标度下以焦耳为单位的电磁波能量与国际单位制标度下以赫兹为单位的电磁波频率的比值。
图10-4 玻尔原子模型
神奇的是，用玻尔模型计算氢原子或者类氢原子，也就是原子里只有一个电子的情况下的原子光谱，理论计算结果跟光谱实验结果符合得十分完美。玻尔也因这个成就获得了1922年诺贝尔物理学奖，尽管玻尔模型后来被证明并没有完全抓住本质。
玻尔模型碰到多电子原子光谱的情况就彻底失效了，也就是当原子里有多于一个电子，而不是像氢原子这样只有一个电子的情况，玻尔模型是无效的。因为它无法描述电子和电子的相互作用，导致计算结果与光谱实验结果相去甚远。此外，它依然不能解释能量不守恒的问题。
第五节 德布罗意的物质波理论（theory ofmatter wave） 光到底是波还是粒子？1924年，法国物理学家德布罗意（Louis de Broglie）在他的博士论文中，提出了物质波的概念。物质波可以解释玻尔模型中角动量量子化的必然性，也似乎能解释为什么电子做圆周运动却不辐射电磁波的问题。
为了说明什么是物质波，先来看一个物理学史上争论已久的问题：光到底是波还是粒子？ 认为光是粒子的科学家，和认为光是波的科学家都不少，并且支持两种观点的实验也不少。
光的粒子性：光电效应（photoelectric effect）首先来看证明光是粒子的实验——光电效应。爱因斯坦是第一个给出了光电效应理论解释的科学家，并因此获得了诺贝尔物理学奖，尽管这只是爱因斯坦众多重要的学术贡献中比较普通的一个。
光电效应的实验是这样的：把一束光打到一块金属板上，调节光的频率，当其频率超过一个特定的值时，金属板上会有电子飞出。神奇的是，只有调节光的频率，才能控制电子的飞出。如果光的频率过低，不管打上去的光的强度有多强，都不会有电子飞出来，这个现象非常反常识。爱因斯坦用光的粒子性解释了这个实验：只有当光被理解为粒子时，才能解释为什么电子的飞出只跟频率有关，而跟强度无关。
我们可以将电子类比成一块躺在坑里的石头，用光去照射这个石头让它获得能量，从而可以从坑里飞出来。
图10-5 光电效应类比思维实验
如果光是波，它赋予坑里石头能量的方式，跟微波炉加热的原理一样，连续给石头输送能量，多到足以让石头飞出坑为止。这种情况下，电子飞出与否应该与光的强度有关；如果光是粒子，就好像往坑里扔其他石头，直到把在坑里的石头砸出坑为止。这种情况下，石头是不是可以飞出来，只取决于砸它的那一块石头能量是否够大。只要够大，就能把坑里的石头砸出来。扔进去的石头就好像一个个光子，它的能量大小只跟频率有关。
光的波动性：双缝干涉实验（double-slit experiment）再来看看支持光是波的实验——著名的双缝干涉实验。
这个实验的设置很简单：有一盏灯和一面墙，在灯和墙之间放一块板，板上开两条平行的缝。如果光是粒子，光必然会走直线透过两条细缝，会在墙上打出两条明亮的线。但实验的结果是，墙上出现的不是两条线，而是明暗相间的条纹。这个结果只能用光是波来解释。
我们在“极快篇”的第二章《狭义相对论中的悖论》中详细介绍过，迈克耳孙-莫雷实验之所以会形成干涉条纹，就是利用了光的波动性。
光如果是波，就会有波峰和波谷。对于双缝干涉实验，墙上的任意一点到两条缝的距离是有差异的，当这个距离差恰好等于光波半波长的偶数倍时，它就表现为两束光振动的强强联合，显得尤其明亮。当某个点到两条缝的距离差是光波半波长的奇数倍时，就表示刚好是波峰遇上波谷，则会显得暗。于是墙上不同的点，依据到两条缝的距离差形成了最明亮和最黑暗之间的连续过渡，最终呈现为明暗相间的条纹。这就是双缝干涉实验的理论解释，它证明了光是波。
图10-6 双缝干涉实验
波粒二象性（wave-particle duality）最后，光到底是波还是粒子的争论，被一个概念——“波粒二象性”给统合了。波粒二象性认为光既是波，又是粒子，取决于你用什么实验方法测量它 。
我们可以把光想象成一个大小可以变化的波包，也就是局部有波动，但是整体类似于一个局域包络的形状。当它很大的时候，内部波动的特点占据主导。当它很小时，内部虽然还有剧烈的波动，但作为一个整体，它的能量是非常集中的，这就展现出了粒子的特性。这就是波粒二象性的解释。
受到光的波粒二象性的启发，德布罗意提出了物质波的概念。他认为并非只有光具有波粒二象性，任何物质都应该具有波粒二象性，电子有波粒二象性，原子也有波粒二象性。并且一个物体的波动性越强时，表现出来的粒子性就越弱，反之亦然。比如一个宏观物体——汽车，也具有波动性，只不过它的粒子性太强了，波动性小得可以忽略。
德布罗意还给出了他猜想的公式——德布罗意方程，也就是一个物质波的波长等于普朗克常数除以它的动量（动量是表征物质粒子性的物理量）。
德布罗意当时提出物质波理论时，实际上并无太多推理成分，完全依据他的直觉，更像是一种哲学思想，而且现在已经被完全验证。如果接受物质波的理论，我们就要重新审视一下原子模型，以及对于电子和原子核的认知。我们一直把它们当作很小的粒子，但根据物质波理论，它们都已经那么小了，质量很小，动量也很小，那么对应地，它们的波动性会不会很强呢？
第六节 如何解释玻尔模型有了物质波的帮助，玻尔模型中的角动量量子化就变得无比自然，电子不辐射电磁波的问题也似乎得到了解释。
周期性边界条件首先介绍一个概念，叫作周期性边界条件（periodic boundary condition）。我们可以想象有一根绳子，你抓住绳子的一端上下挥舞，根据生活经验，整根绳子会振动起来，它的形态就像是一束波。现在把这根绳子首尾相连，组成一个环，让这根环状的绳子开始振动出波动的形状。
图10-7 闭合绳子的波动情况
那么，绳子里可能存在的波的波长就要满足一定的条件。这个条件是什么呢？不管这根环状的绳子怎么振动，它总归不能断。也就是说，这根环状的绳子，你从上面一个点出发，绕一圈回来，它必须还要能回到原来那个点。这就是这根绳子里能够存在的波的条件——周期性边界条件。周期是指以一圈为周期转一圈后必须要能够转回去。因此，这根绳子的总长度，必须是绳子当中波长的整数倍 。
玻尔模型再解释有了周期性边界条件，我们再来拷问一下玻尔模型。玻尔模型一直在把电子当成粒子，但是根据物质波的理论，电子质量那么小，运动速度也有限，动量其实非常小。
在这样的状态下，我们可以认为，在原子里运动的电子粒子性很弱，波动性却很强。所以，不如把电子当成波，不要把它看成粒子。既然电子围绕原子核以波的形式运动，就像一根首尾相连的绳子，电子的物质波就应该满足周期性边界条件。电子围绕原子核运动轨迹的周长，应当是电子物质波波长的整数倍。基于以上，代入德布罗意物质波公式，不难发现周期性边界条件与玻尔的角动量量子化是完全等价的，也就是根据德布罗意物质波公式的演算，将自动给出电子的运动在玻尔模型中的表达式。这样一来，角动量量子化就不是一个强行的假设了，只要把电子当成波，一切都变得非常自然。
此外，电子不辐射电磁波的问题也解决了。因为这个时候的电子已经不是粒子了，就更加谈不上加速度，没有加速度又怎会辐射电磁波呢？
如此看来，德布罗意物质波真的是大道至简。
图10-8 电子云
玻尔模型的失效：电子云即使如此，也不要认为物质波就是解释原子中电子运动的根本理论。实验上，它依然无法解释多个电子相互作用下，光谱与玻尔模型的计算相去甚远的问题。
此外，还有更加令人绝望的消息。既然玻尔模型预测了电子运动的轨迹，我们不如真的去测量看看真实的轨迹是怎样的。如果玻尔模型正确，原子中电子的运动轨迹应该是一个环状的图形。但事与愿违，我们真的去测量电子在原子中的位置时，得到的结果居然是毫无规律可言。电子几乎能出现在原子核周围的任何地方，它根本没有显著的环形规律，而是“一切皆有可能”。
随着测量次数的增多，把每次测量的结果都合在一起，电子的位置在原子核周围形成了“电子云”的形态，也就是说，我们根本无法预测电子会出现在什么地方，它的位置一团模糊。这几乎彻底宣告了玻尔模型的失败。玻尔模型一直致力于找出电子在原子核周围运行的轨迹，但实验告诉我们不存在这样的轨迹，我们无法预测电子的具体运动方式 。
最初的关于原子物理的基本信息，到这里大致就宣告完结了。要真正解释电子在原子中的行为，不得不请出量子力学。