尼尔·布莱斯利（Neil Brisley）
克里斯K.安德森（Chris K.Anderson）
许多公司意识到布莱克-斯科尔斯公式不适合员工股票期权（ESOs）并且正转向会计或者决策制定的网格方法。在最有影响力的模型中，一个假设是当股票价格达到执行价格的一个固定倍数时，雇员自发执行，这实际上是在网格中引入了一个“水平”执行边界。然而在实践中，雇员要在内在价值和放弃的时间的机会成本之间做权衡。这里提出的模型明确地认识并解释了现实而且有直观的吸引力，很容易实施，符合美国会计标准。
雷曼在估计福尔德先生2000年的工资时做出的另一个假设是他会在拿到期权的两年半后执行。但是福尔德先生过去持有期权一直到接近期满。实际上，福尔德先生从2003年12月起执行的260万份期权处于它们寿命的最后一年。
——帕特里克·麦格哈恩（Patrick McGeehan，2006）
出于会计和经济方面的原因，对员工股票期权定价（ESOs）的需要使得雇员提前执行行为的建模与公司财务主管，证券分析师和那些考虑期权奖励的公司密切相关。雇员的提前执行和同样的欧式期权（只能在期满时执行）相比减少了公司ESO的成本，所以ESO的定价模型必须做出关于雇员在到期前何种情况下执行期权的假设。像麦格哈恩引用的纽约时报的例子就阐明了确认推动提前执行的原因和做出这些推动力的合理数值估计重要性。
大部分公司以前使用布莱克-斯科尔斯期权定价模型的变体来为ESOs定价，但是越来越多的公司意识到这些公式不适合ESOs并且转向了网格模型，比如赫尔和怀特提出的（Hull and White，2004，此后称作HW）。 [2] 这种趋势预计会增加，因为在现有的财务会计规则下，任何采用网格模型的公司此后不要求再回到布莱克-斯科尔斯模型。 [3]
在一个引用率高且影响力大的文献中，HW提出了一个ESOs估值的障碍期权网格法，其假设每当股价达到执行价的一个固定倍数M时，雇员就自发执行。他们的模型是灵活，容易理解和解释和广泛应用的。从概念上看，它为ESO引入了一个“水平”边界；如果股价到达这个边界，自发的提前执行就会发生。经验证据（例如，赫达特和兰格，1996）和金融理论的含义一致，那就是在ESO寿命期间，雇员要求股价到达执行价相对高的一个倍数来引发提前执行，但是在期权寿命后期，雇员会在执行价的一个相对低的一个倍数下自发执行。 [4] 这个行为不仅对HW模型的适合性，而且对于从历史上观察到的提前执行中估计参数M同样有意义：两个拥有相同期权特征的相同公司使用HW模型为相同ESO定价会大大不同，因为一个公司以前经历了比另一个公司更快的股价上涨；也就是说，股价快速上涨的公司在自发执行的观察中比另一个公司有更高的M。
我们提出了自发执行边界的另一个模型。我们的模型假设每当期权的“价值状态”达到其剩余的布莱克-斯科尔斯价值的一个固定比例μ，雇员就会自发执行。这个结果是一个有直观吸引力的“向下倾斜”自发执行边界，它要求在ESO寿命早期股价到达执行价相对较高的一个倍数来引发提前执行，但是期权寿命后期允许提前执行在执行价相对较低的一个倍数发生。我们的μ模型有M模型的简单实用性并且能够运用在M模型能使用的情形为ESOs定价。和HW的M模型相同，它包含了ESO的特征，比如等待限制，作废和雇佣终止时的强制提前执行。和HW模型不同，我们的模型在ESO的整个寿命期间考虑了内在价值和放弃的期权价值的机会成本的权衡。同时，从历史上提前执行的数据中估计的参数μ相较于M模型更不容易受到非典型股价历史带来的偏差的影响。
许多从业者使用的一个方法（正如纽约时报中引用的）是估计ESO的预期寿命并且在布莱克-斯科尔斯公式中作为期权的到期日。这个方法的一个网格模型变形是假设如果一个固定的最长生命周期L达到了，雇员会自发执行。从概念上看，这个方法在ESO中引入了一个“垂直”自发执行。L模型是第三个为自发执行边界建模的启发式方法，我们将把它同M模型和我们提议的μ模型的表现相比较。 [5]
为ESOs定价的一个常见方法是把异质个体中得到的参数进行平均来建立一个“代表性投资者”模型。这个方法从概念上对于M模型和L模型是错误的（并且在M模型中会导致潜在的巨大偏差）。原因是由L模型和M模型得出的价格是分别关于参数L和M凹的，所以依据总体平均得出的模型价格会高于使用每个参数得到的模型价格的平均。
相比之下，在没有等待限制，作废和雇佣终止相关的执行，μ模型会有一个关于u呈线性的封闭解。我们会指出当且仅当获得了剩余的布莱克-斯科尔斯价值的一个固定比例（μ），雇员执行时ESO的授予日价值就是同样的欧式期权的授予日价值的同样比例（μ）。即使有等待限制和雇佣终止，μ模型给出了几乎线性于μ的期权价格；因此使用代表性投资者方法对于μ模型是合理的——即使授予期权给异质投资者。
我们的分析也反映了当使用历史数据来估计模型参数时，特别的股价历史如何系统地使得L和M模型的估值出现偏差。原因如下：经历了高股价回报的公司雇员往往会在ESO寿命相对早期就自发执行期权了，而不是在股价是执行价一个相对高的倍数时。在这种情形下估计的L会偏低，估计的M会偏高。如果用低的L为新ESO定价，它们会低估期权的真实成本。如果使用高的M，它们会高估ESO价值。相反，一个股票回报缓慢的公司经历的期权执行会发生在相对后期并且是在执行价格的一个相对低的倍数上，如果这些数据用来估计L模型或者M模型的参数也会有一致的结果。 [6] 相比之下，贝蒂斯，比兹杰克和莱蒙（Bettis，Bizjak and Lemmon，2005，此后称作BBL）发现比例的可变性要小于提前执行程度的可变性，此比例是他们对于历年提前执行时剩余布莱克-斯科尔斯价值的比例的估计（我们模型的μ）。他们的结果给我们提出的定价模型提供了更多激励。
我们会指出根据自发提前执行的特殊历史数据来计算参数使，L，M和μ模型是如何给出ESO价格的最高或者最低值的。然而通常说来，没有一个完全客观“正确”的期权价格来衡量每个模型结果的准确性。我们采用了一个自发提前执行行为的合理模型（在卡彭特，1998和BBL中使用过）作为一个基准。 [7] 这个模型具有直观的吸引力，在文献中有很好的研究并且显示能准确描述经验数据的质量和数量特征。它使用二项式网格描绘ESO的自发提前执行决定，ESO是由效用最大化的雇员持有的并且雇员的其他财富已经投资到最优的股票和债券组合中。在网格中的每个节点，风险厌恶的雇员比较立刻执行和多等待一个时期带来的预期效用。如果或者当立刻执行带来的效用更大时，自发执行就被触发—这使得我们能获得雇员持有的ESO的自发执行界限，并以此计算ESO的客观价值。
此外，我们在网格中产生了所有可能的个人“价格历史”的概率分布，计算了所有的一个分析人员可以从自发提前执行中衡量的L，M和μ的分布。在各自的模型中使用这些参数，我们能够分析这些模型相对于客观期权价值的准确性。
[1] 摘自《金融分析师》（2008年9、10月）：88~100。本章所出自的论文在2008年加拿大金融高管研究基金会所举办的金融高管国际（FEI）加拿大会议上获得第二届“最佳会议研究论文奖”。本文首次发表时，Nail Brisley是西安大略大学理查德·艾维商学院的金融学助教，伦敦，加拿大，Chris K.Anderson是康奈尔大学酒店管理学院运营管理学助教。
[2] 网格模型把授予日和到期日之间的时间分成N个离散时间段。在每个时刻n，时刻n和n+1标的股票价格的变化由两个（或者三个）分支表示。这个过程不断重复直到n=0到n=N的每个可能路径都标注出来。然后估算每个股票价格路径的概率。顺着股票期权回报和概率倒推直到今天期权的公允价值被计算出来。一个简单的期权网格模型是二叉树期权定价模型。
[3] 在美国，财务会计准则公报第123号（修正的），以股份为基础的支付（FAS 123R）使得在2005-6-15以后的财政年度费用化ESOs成为一种义务。同样的准则也已被国际会计准则理事会和加拿大会计准则理事会实施。FAS 123R允许使用修正的布莱克-斯科尔斯方法，但是也设想运用网格模型；标准特别采用了HW模型并且用数值例子阐释了它的使用。美国证券交易委员会的员工会计公告也提到了HW模型。
[4] See Huddart（1994）；Carpenter（1998）；Detemple and Sundaresan（1999）
[5] 一些使用布莱克-斯科尔斯方法的从业者没有区分自发提前执行和离职执行或者作废。相反，他们把这些因素一同考虑进一个单一的预期寿命的估计值。然而我们在这里做了区分来确保L模型和M以及μ模型的可比较性。
[6] 为了确认这个直觉，卡彭特（1998）发现“在总体股票价格表现强势的公司中，期权在深度实值时被执行”。贝蒂斯，比兹杰克和莱蒙（2005）发现“提前执行的稳定增长和股票市场估值的增长是平行的”。然而他们也表明“和股票市场的下降相一致，我们观察到期权推迟执行”。
[7] 卡彭特模型是早期赫达特（1994）及库拉蒂拉卡和马库斯（1994）工作的推广。