三体问题：挥之不去的乌云
寻求三体解析解，是人类的梦想。
凭借《三体》这本小说，刘慈欣单枪匹马地把中国科幻提升到世界水平。
小说以天体力学中的三体模型为基础，虚构了生活在“三合星”星系上的一群智慧生命，我们称之为三体人。每日，他们都在寻求三体解析解，以求生存。因为他们的星系里有三个太阳，这三个太阳无规则地进行“三体”运动，你根本不知道哪天会三日凌空，分分钟热死你；也不知道哪一天长夜将至，冰冻千年。
在这种无恒定的生存环境下，三体文明被毁灭了两百多次，“三合星”依旧不断地吞没所在星系的行星，只剩下最后一颗行星。若再无法解决三体问题，他们的生命将岌岌可危，只能开始想办法向外迁徙，首先成为他们猎物的就是地球。
一下子，“三体人”头顶挥之不去的乌云，就这么扩散到了地球人的头上。那么，三体问题究竟是什么？它们之间的运动到底有无规律？
牛顿时代二体问题已得到彻底解决三体问题这一振聋发聩的天问，还得从一颗“扫把星”说起。
公元1066年，一颗拖着长尾巴的古怪天体在夜空中缓缓划过，注视着人间即将上演的殊死一战。很快，黑斯廷斯的山冈上，英国国王哈罗德 1正带领着他的军队死死抵抗着诺曼人的入侵。这一夜，哀鸿遍野，血河流淌，英国终不敌诺曼人的强悍武力，只能痛苦地匍匐在敌人脚下俯首称臣，眼睁睁地看着入侵者趾高气扬地站上他们的王城之巅。
可悲的是，当时的人们将这一切灾难归咎为头顶那颗飞逝而过的神秘天体，他们认为这是一种不祥之兆。
像这种把彗星的出现和人间的灾难联系在一起的事例还有很多，但能够对此嗤之以鼻的人很少，天文学家哈雷算一个，他对彗星不仅不讨厌，还痴迷不已。哈雷长期不懈地观测、记录彗星的运行轨迹，试图找出掩藏在这颗星体背后的运行规律。
为此，1684年，哈雷还专门前去剑桥请教牛顿，结果让他欣喜若狂。牛顿准确地告诉他：物体间引力和距离的平方成反比。而且根据牛顿的计算结果可知，天体都是围着一条椭圆的轨道运行的。随后，哈雷利用牛顿的理论成功预测了彗星再次降临地球的时间，这就是著名的“哈雷彗星 2”命名的由来。
哈雷对牛顿竟然早就知道天体运行秘密的远见卓识佩服得五体投地，因此，总督促牛顿将他的学术成果著作成书。后来，随着牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》出版，“扫把星”这无辜的“背锅侠”也洗清了冤屈。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中用数学方法严格地证明了开普勒三大定律，使二体问题得到彻底解决，这也是迄今为止唯一能彻底求解的天体力学问题。所谓二体问题，是只考虑两个具有质量m1和m 2的质点之间的相互作用（只考虑万有引力），像地球的自转、形状等影响因素被忽略不计。设m1、m2的向径是R，那么它们的向径加速度就是关于时间的二阶导数：（R对t的二阶导数）。
根据万有引力定律，向径加速度应该等于向心力与质量m的比，即
以上两式相等，于是得到二体运动方程：
式中，R为向径；r为R的模；u为地球引力常数，是人造地球卫星运动中常用的常数，具体的公式为u=GM，其中G为万有引力常数， M为地球质量，即万有引力公式的变形。
如果以m1和m2表示太阳和行星的质量来研究它们的运动情况，即二体问题在数学上可以归结为求解如下的微分方程：
身处三维世界的我们，到底能不能解开“三体”这个结？
二体问题的成功解决，给了牛顿希望，他开始迫不及待着手研究三体问题。不得不说，年轻的牛顿是一个非常上进的青年，如果“三体人”真的占领了地球，可能唯一能够活命的也就是他了。
我们来描述一下牛顿引入了第三个球体后的感觉。作为伟大的数学家，图形在牛顿的意识深处都是数字化的，这种天然的数学感觉让他在解决一球和二球问题时并不吃力，所有的运动轨迹都能用几个方程来表示，就算复杂如晚秋的落叶，也只是几个方程的叠加，再加上几个变量和参数。可是，第三个球体一旦被引入数学模型中，这个三球世界一下子变得不可捉摸。三个球体在数学模型中进行着永不重复的随机运动，描述它的函数方程如潮水般涌现，无休无止，不可断绝。
牛顿研究三体问题也不仅仅是为了证明自己比莱布尼茨厉害，因为三体问题是天体力学中的基本模型，即探究三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体，在万有引力的作用下的运动规律。这个规律值得好好研究。
最简单的例子就是太阳系中太阳、地球和月球的运动。但没想到的是，这个从2到3看起来非常简单的数字跳转问题，却使牛顿头痛不已。像两个球那样有流畅曼妙的椭圆轨道的曲线没有了，牛顿在三体问题计算中，得到的曲线越走越远，杂乱无章的答案将牛顿带入失落的漩涡，三体为什么不能周而复始地运行下去呢？这个问题牛顿得不到答案，也没有人能为他解答。所以牛顿认为，我们的太阳、地球再加上月亮的系统是不稳定的。
这是一件多么令人沮丧的事啊！到了晚年，失落的牛顿之所以寄情于上帝的神迹，大概是想通过无所不能的上帝来解决心中的疑惑吧。
但岂止是牛顿，即使是几百年之后的今天，经历了无数位科学家、数学家勤勤恳恳地日夜追寻，三体问题仍然未能圆满地解决，大于3的N体问题自然就更为困难了。
如此困难重重的三体问题却是天体运动中非常常见的，如与我们生活息息相关的太阳、地球、月亮，它们根据牛顿的计算，就好像是三个调皮的小孩跑来跑去，万有引力作用不能将它们乖乖聚集在一起。
三体问题的真正解决办法是建立一种数学模型，使三体在任何一个时间断面的初始运动矢量已知时，能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。若根据牛顿万有引力定律和牛顿第二定律，我们可以得到在三体问题中，作用于质点Qi的力为：
式中，m为质点的质量；r为质点的位置矢量；rij为两质点间的距离；Fij为两质点间的作用力。
而三体问题的运动微分方程可写为：
一般的三体问题，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下，其运动方程都可以表示成六个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分，远远不足以解决三体问题。
三体问题百年数学大厦上挥之不去的乌云1900年，慧眼如炬的数学家希尔伯特在他的演讲中提出了23个困难的数学问题及两个典型例子，第一个例子是费马大定理，第二个就是N体问题的特例——三体问题。1995年，费马大定理终于得以解决，但三体问题仍然是数学天空的一朵乌云，始终挥之不去。
我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是无解析解，意思是三体问题没有规律性答案，不能用准确无误的解析式进行表达，只能算一个数值解，并且得出的数值并不是一个精确值。对于三体问题得出的初始数值解，一开始只有极小的误差，但在时间的推移下，这个误差会被逐渐放大。当时间趋于无穷时，数字“龙卷风”早就不知道将三体轨道刮向何处了。三体轨道的长时间行为的不确定性，就被称为混沌现象。
三个物体在空间中的分布可以有无穷多种情况，由于混沌现象的存在，通常情况下三体问题的解是非周期性的。但在特殊条件下，一些特解是存在的。例如，在合适的初始条件下（位置、速度等），系统在运动一段时间之后能够回到初始状态，即进行周期性的运动。
在三体问题被提出的300年内，仅有3种类型的特殊解（不是通解）被发现，到了2013年，才有了明显的突破，两位物理学家又发现了13种新特解。
其实，三体运动已经将球体自转速度、形状等限制条件忽略不计了。即使是这样，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等大师为这个问题穷尽一生精力，所得到的结果也仅仅是多体系统，除已知的10个守恒量 3外，没有其他守恒量。守恒量可以用来降低解的维度，是当时流行的解动力系统的方法，而这个结果表明该方法对多体问题的解决用处不大。传到民间，这个结果经常被误解为“三体问题无解”，专业一点的说法是“无精确解”或“无解析解”。
科学发展到现在，三体问题的求解和应用其实就是一部科学家们穷尽一生苦求无果的心酸简化史。但就像《阿甘正传》电影台词说的：“生活就像一盒巧克力，你永远不知道你会得到什么。”人类在科学摸索之路上也是一样的，因为未知，所以摸索到更多的可能性。浩瀚宇宙中真的有外星人吗？准确地说，答案并不确定。但由这个问题引出许多深刻的讨论，它们可能比问题本身的解答更为重要。
对于科学家来说，他们不相信哲学家的话，而是希望用数学方程解开谜团。所以，关于三体的求解，科学家们会一直追寻下去。
退而求其次三体问题简化——限制性三体既然三体问题这个“小魔王”都已经如此不好对付了，那就更不用说考虑质点更多的四体问题、N体问题这种超级“大魔王”了。深谙要稳扎稳打，逐步击破敌人防御塔的地球人决定退而求其次，对三体模型进行简化，因此就有了限制性三体问题的研究。限制性三体问题是在二体问题的基础上，加入了一个对二体运动无影响的质点，研究该质点在二体引力作用下的运动。其中根据二体运动规律的不同，将限制性三体问题分为圆型、椭圆型、抛物型及双曲型等限制性三体问题。我们只谈其中最简单的模型——平面圆型限制三体问题。
18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日为了求得三体问题的通解，日思夜想，绞尽脑汁，最后他采用了一个非常极端的例子作为三体问题的结果，并在1772年发表于论文《三体问题》中，即如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。这个推论的结果是得到五个平动点，又称拉格朗日点，在天体力学中是平面圆型限制三体问题的五个特解。这些点的存在由瑞士数学家欧拉于1767年推算出前三个，法国数学家拉格朗日于1772年推导证明其余两个。这五个拉格朗日点中只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的干扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角形，我们设定这五个平动点分别为L1、L 2、L 3、L 4、L 5，如图22-1所示。
图22-1 五个拉格朗日点示意图
L1、L2和L3在两个天体的连线上，为不稳定点。若垂直于中线地推移测试质点，则有一力将其推回平衡点；但若测试质点漂向任一星体，则该星体的引力会将其拉向自己。不过，虽然它们是不稳定的，但是可以选取特定的数值使系统原来的解退化为近似周期解，相应的平动点的运动变为稳定的，此时这种稳定称为条件稳定。
对于L4、L5，当0<µ<µ*时（其中 *µ 满足）， L4、L5是线性稳定的。对于太阳系中处理成限制性三体问题的各个系统，如日-木-小行星、日-地-月球等，相应的μ均满足条件0<µ<µ*（ *µ 满足
）。对于
的情况，显然是不稳定的。
三体问题像一个暴躁的国王，它喜怒无常的出行路线永远让人捉摸不定。
当理论物理学家开始绝望时，现实中的拉格朗日点已有所应用。1906年，一颗活泼好动的小行星出现在天文学家的视线里。它不是乖乖地待在火星与木星之间的小行星带中，而是紧追木星步伐一起探险，它的运行轨道和木星是相同的。最奇妙的是，它的绕日运动周期也与木星相同。从太阳上看，它总是在木星之前60°运转，不会与木星贴近。这颗小行星被命名为“阿基里斯”，赞誉它是荷马史诗里特洛伊战争 4中的希腊英雄。
小行星“阿基里斯”的出现，让睿智的科学家马上联想到这很可能是三体问题中的一个特例，一番寻觅之后，天文学家很快就在木星之后60°的位置上发现了“阿基里斯”的小伙伴。迄今为止，已有700颗小行星在木星前后这两个拉格朗日点上被找到，这些处在拉格朗日点上的小行星都以特洛伊战争里的英雄命名，并有一个集体称号：特罗央群小行星。特罗央实际上就是古希腊神话中小亚细亚的特洛伊城。
一下子，这深邃夜空中闪烁的群星，就在数学运算下不再遥不可及，浩渺的宇宙在科学的预见中也不再神秘莫测，处处闪烁着数学智慧的光芒。
结语寻找通往三体世界的地图虽然《三体》是一本虚构小说，但数学中的三体问题却是实际存在的。三体问题是否真的无解，人类现在还没有办法得出结论，如果找到了通往三体世界的地图，人类会跃升一个文明等级吗？
而量子计算在这个过程中能扮演什么角色？三体属于算力问题，还是规律问题？究竟是因为文明层次决定了我们在面对某些问题时受限，还是因为人类少了希尔伯特这样的天才？
一切都是未知。摧毁三体的光粒文明，之所以能击中三体的一颗恒星，是因为他们解析出了三体运动吗？这一切，并非只是科幻，更要做出科学的理性思考。
1 哈罗德：又称哈罗德二世，盎格鲁-撒克逊时期韦塞克斯王国的末代君主。忏悔者爱德华去世后，王后之兄哈罗德即位。他的王位受到挪威国王哈拉尔德三世及诺曼底公爵私生子威廉的挑战。1066年10月14日，英诺两军决战，结果英格兰军队战败，哈罗德二世本人也战死。诺曼底公爵威廉进入伦敦加冕为英格兰国王。
2 哈雷彗星：每76.1年环绕太阳一周的周期彗星，因 英 国 物 理 学家爱德蒙·哈雷（1656—1742）首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名。
3 守恒量：天文学专有名词，或者说运动恒量，是指无论体系处于什么样的状态（定态或非定态），力学量A的平均值及测量值的分布均不随时间变化，所以称A为体系的一个守恒量。
3-1 角动量： 在物理学中与和物体到原点的位移和动量相关的物理量。它表征质点矢径扫过面积的速度大小，或刚体定轴转动的剧烈程度。
4 特洛伊战争：古希腊战争，发生在迈锡尼文明时期。公元前12世纪，迈锡尼王国为了争夺海上霸权而与小亚细亚西南沿海的国家发生冲突，其中最著名的就是以争夺世上最漂亮的女人海伦为起因的特洛伊战争。10年的特洛伊战争消耗了迈锡尼大量的元气，让这个一度辉煌的国家变得千疮百孔。一场战争拖垮了一个文明，这也是特洛伊战争备受关注的一个原因。