布莱克-斯科尔斯方程：金融“巫师”

16 布莱克-斯科尔斯方程：金融“巫师”

方程能定价期权，却无法预测人性。

“我可以计算天体运行的轨迹，却没有办法计算人性的疯狂。”

牛顿买了大家都非常看好的英国南海公司股票，但最终由于泡沫破灭，官至皇家造币局局长的牛顿亏损2万英镑，为此发出以上这番感慨。

不过，20世纪的布莱克和斯科尔斯似乎有着不同的意见：经济没有那么复杂，关键在于是否关注数学而已。

这两位玩转风云的金融大师，对1966—1969年间期权交易数据进行分析后发表《期权定价和公司债务》一文，在1973年给出了期权定价公式，创造了一个堪称只有金融“巫师”才能发现的秘密。为表纪念，该公式以二人名字命名，即著名的布莱克-斯科尔斯公式。

该公式向世界证明，无论经济表面现象有多复杂，数学总能将这种复杂刻画出来。

后来，斯科尔斯和默顿又进一步发展了这一方程，为新兴衍生金融市场中包括股票、债券、货币、商品在内的衍生金融工具 1的合理定价奠定了基础。

这个方程的崛起使全球金融衍生市场步入全盛时期，一个衍生工具的时代到来了。它创造出数十万亿金融衍生产品，并令美国金融行业升至社会所有行业的顶峰，甚至包括世界经济也因衍生市场的繁荣而焕然一新。

美国“第二次华尔街革命”也因该公式的诞生吹起了新生的号角，金融工程在经济学界破土而出，人称“数量分析专家”的新一代交易家成为华尔街最炙手可热的精英人才。

大批故步自封的传统投资银行江河日下，一家新的资本管理公司——LTCM（Long-Term Capital Management）开始崭露锋芒。

LTCM华尔街的时代宠儿

关于布莱克-斯科尔斯方程的伟大应用，LTCM是最有发言权的，可以说，它是这一方程的最佳代言人。通过一丝不苟地执行布莱克-斯科尔斯方程套期理论，LTCM在整个金融界掀起一翻“腥风血雨”。

1994年，长期资本管理公司LTCM创立，这是一家主要从事定息债务工具套利 2活动的对冲基金 3公司。LTCM的创始人是被誉为能“点石成金”的华尔街“债券套利之父”梅里韦瑟，其早期曾就职于华尔街的著名投资银行所罗门兄弟公司债券部门，离开后创立了LTCM。合伙人包括前美联储副主席莫林斯、默顿和斯科尔斯等。其中斯科尔斯和默顿都是经济学界的泰斗级大师，前者是布莱克-斯科尔斯方程的创始人之一，后者是公式的改进人，他们还获得了1997年的诺贝尔经济学奖。

这样一支号称“每平方英寸智商密度高于地球上任何其他地方”的梦之队，集结数学、金融、政客、交易员等诸多精英于一体，在成立之初就毫不费力地融资了12.5亿美元。

与传统债券交易员依赖经验和直觉不同的是，梅里韦瑟更相信数学天才的头脑和计算机里的模型，他认为数学模型是揭露债券市场秘密的最好利器。他曾经在所罗门公司组建了套利部，收罗了一批与别人格格不入的数学怪胎，这批最能赚钱的“赌徒”在华尔街赫赫有名。

而这一次，LTCM掌门人梅里韦瑟依旧选用了数学模型作为投资法宝。

斯科尔斯和默顿两位金融工程方向的著名学者，将金融市场的历史交易资料、已有的市场理论和市场信息有机结合在一起，形成了一套较完整的计算机数学自动投资模型。

以“不同市场证券间不合理价差生灭自然性”为基础，LTCM利用计算机处理大量历史数据，通过精密计算得到两个不同金融工具间的历史价差，并将其作为参考，再综合市场信息分析最新价差，当发现不正常市场价差时，计算机立即建立起庞大的债券和衍生性工具组合，进行套利。

套利建立在对冲操作上，所谓对冲，就是在交易和投资中，同时进行两笔行情相关、方向相反、数量相当、盈亏相抵的交易，用一定的成本去“冲掉”风险，来获取风险较低或无风险利润。LTCM主要从事所谓“趋同交易”，即寻找相对于其他证券价格错配的证券，做多 4低价的，沽空 5高价的，并通过加杠杆的方式将小利润变成大收益。

例如，1996年意大利、丹麦、希腊的政府债券价格被低估，而德国债券价格被高估，根据数学模型预测，意大利、丹麦、希腊的政府债券与德国债券的息差会随着欧元的启动而缩小，于是LTCM大量买入低价的意大利、丹麦、希腊的政府债券，卖空高价的德国债券。只要德国债券与意大利、丹麦、希腊的政府债券价格变化方向相同，当二者息差收窄时，就可以从中得到巨额收益。后来市场表现与LTMC的预测一致，在高财务杠杆下，资金收益被无限放大。

这样的对冲组合交易，LTCM在同一时间持有二十多种，每一笔核心交易都有着数以百计的金融衍生合约作为支持。借助于复杂的数学估价模型，LTCM很快在市场上赚得盆满钵满。

成立短短四年，LTCM战绩赫赫，净资产增长速度极快，如图16-1所示，到了1997年年底，资本已达到了七十多亿美元。同时，每年的回报率平均超过40%，1994年收益率达到28%，1995年收益率高达59%，1996年收益率是57%，即使在东亚金融危机发生的1997年，也依然斩获25%的收益率。

这一系列记录及合伙人的声望使投资人对LTCM情有独钟，贝尔斯登、所罗门美邦、信孚银行、JP摩根、雷曼兄弟公司、大通曼哈顿银行、美林、摩根士丹利等华尔街各大银行都想成为投资者，以求能分得一杯羹。

至此，LTCM如日中天。

B-S模型最“贵”的偏微分方程

LTCM造就的财富神话，一度使人惊叹不已，他们几乎从无亏损，没有波动，这简直就像是没有风险。著名的金融学家夏普疑惑不解地问斯科尔斯：“你们的风险在哪里？”

斯科尔斯也直挠头：“没有人看到风险去哪里了。”

在LTCM的操作中，斯科尔斯他们始终遵循“市场中性”原则，即不从事任何单方面交易，仅以寻找套利空间为主，再通过对冲机制规避风险，使市场风险最小化。

在这一系列对冲组合的背后，隐藏着无数控制风险的金融衍生合约，以及错综复杂的数学估价模型。最初开创了金融衍生时代、催生出一大批新生代“数量分析师”的布莱克-斯科尔斯方程，在LTCM战无不胜、攻无不克的一路高歌中，可谓是立下了汗马功劳。

布莱克-斯科尔斯方程（Black-Scholes期权定价模型）简称B-S模型，其思想来源于现代金融学中的一场“实践之旅”。

1952年，芝加哥大学一名博士生马科维茨用一篇论文制造了现代金融学的大爆炸，人类历史上第一次清晰地用数学概念定义并解释了“风险”和“收益”两个概念，把收益率视为一个数学的随机变量，证券的期望收益是该随机变量的数学期望，而风险则可以用该随机变量的方差来表示。20世纪60年代，马科维茨的学生夏普携手其他几人继续研究，进一步推导出期望收益率与相对风险程度之间的关系，这就是金融学中最著名的资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）。

布莱克的核心思想，就是在CAPM世界中寻找一个漂亮的衍生品定价模型。

从马科维茨开始，金融学就步入了一场理论与现实相结合的“实践之旅”，行为金融学日渐兴起，而20世纪70年代的“异端”布莱克，就在那个无套利分析法大放光彩的市场中，窥见了一套为金融衍生品投资行为量身定制的法宝。

无套利定价法 6告诉我们，假设在一定的价格随机过程中，每一时刻都可通过股票和股票期权的适当组合对冲风险，使该组合变成无风险证券，这样就可以得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程。只要解出这个偏微分方程，期权的价格也就随之而出。

布莱克和斯科尔斯两人借助于物理界的一个热运动随机方程，再把f定义为依赖于股票价格的衍生证券的价格，一鼓作气推出B-S偏微分方程，这个方程就藏着衍生证券的价格：

B-S偏微分方程令布莱克和斯科尔斯着迷不已，但也令他们抓耳挠腮。在苦苦思索后，布莱克选择从欧式看涨期权 7入手，将未来期望收益值进行折现 8，进一步解出看涨期权价格ct为：

其中：

式中，N(x)为标准正态变量的累积分布概率；x服从N(0,1) ；T为到期日；t为当前定价日；T-t为定价日距到期日的时间；St为定价日标的股票的价格；X为看涨期权合同的执行价格；r为按连续复利计算的无风险利率；σ为标的股票价格的波动率。

有趣的是，同年，来自麻省理工学院（Massachusetts Institute of Technology，MIT）9的金融教授“期权之父”默顿也发现了同样的结论。

这三人相逢，便是一出高山流水的经典戏码，高手过招，惺惺相惜，碰撞出了更多期权思想的火花。谦逊的默顿一直等到布莱克模型公布后才发表自己的论文，甚至在后来还改进了模型，创造性地提出看跌期权 10定价模型，扩大了公式的应用范围。

欧式看涨期权和看跌期权之间存在着一种平价关系：

将这种平价关系同标准正态分布函数的特性结合起来，即N(x)−N ( x− )=1 ，就可以得到欧式看跌期权的定价公式：

B-S模型刚推出之时，曾因完全脱离了经济学一般均衡的框架而被主流经济期刊视为“异端”而不予接收。不少经济学家大惊失色，怎么可以直接用无套利的方法给证券定价？但与模型定价惊人吻合的市场数据，让华尔街欣喜若狂。

这一模型十分有效，是经济学中应用最频繁的一个数学公式，但要使其奏效，还需满足一些复杂的假设。

（1）证券价格S遵循几何布朗运动（Geometric Brownian Motion， GBM）11，即d S =µS d t+σS d z 。

股价遵循几何布朗运动，意味着股价是连续的，它本身服从对数正态分布，资产预期收益率μ、证券价格波动的标准差σ为常数。在B-S期权定价公式中，受制于主观因素的μ并未出现，这似乎在告诉我们，不管你的主观风险收益偏好怎么样，都对衍生证券的价格没有影响。

这其中，恰恰蕴含着风险中性定价的思想，在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都等于无风险利率。几何布朗运动的假设保证了股价为正（对数定义域大于0）、股价波动率、股票连续复利收益率服从钟形分布，这与实际股市数据也是较为一致的。

（2）有效期内，无风险利率r为一个常数。无风险利率r是一种理想的投资收益，通常指国债一类没有风险的利率，到期不仅能收回本金，还能获得一笔稳定的利息收入。

（3）标的证券没有现金收益支付，如有效期内的股票期权，标的股票不支付股利。

（4）期权为欧式期权。欧式期权的买方不能在到期日前行使权利；而与之对应，美式期权的买方可以在到期日前或任一交易日提出执行要求。

（5）市场无摩擦，即不存在交易费用和税收，如印花税 12，以及所有证券交易都完全可分，投资者可以购买任意数量标的资产，如100股、10股、1股、0.1股等。

（6）证券交易是连续的。

（7）市场不存在无风险套利机会，即“天下没有免费的午餐”，不存在不承受风险就获利这样的投资机会，想获得更高的收益就得承受更大的风险。

（8）卖空不受任何限制（如不设保证金），卖空所得资金可由投资者自由使用。

马科维茨的投资组合理论在金融学中画下了最基本的风险-收益框架。如果说“第一次华尔街革命”的爆发使现代投资证券业开始成为一个独立产业，那么布莱克-斯科尔斯方程则是“第二次华尔街革命”。金融衍生市场从此步入繁荣期，行为金融学为对冲基金的崛起提供了有力的支持，金融学和金融实践的融合交错，现代金融因此迅速发展。

站在时代浪潮之上，“数量分析专家”更是借助B-S模型创造出数十万亿金融衍生产品，全球经济财富指数级上升，美国金融行业一度升至社会所有行业的顶峰。可以说，这个公式，当之无愧为史上最“贵”的偏微分方程。

天使还是恶魔银行大厦一夜将倾

B-S模型与现实数据的惊人吻合，使人们对这样一个简单有效的定价工具痴迷不已。

尤其随着巨额收益的日渐膨胀，许多银行家和交易员在欣喜若狂中也把这个方程当成了一种对冲风险的法宝。

借助于B-S模型，以梅里韦瑟为首的“梦幻组合”也成了金融舞台上最耀眼的明星。这群人沉浸于巨大杠杆财富的胜利喜悦中。

然而，风险仍然存在，它们隐而不发，伺机而动。1997年，亚洲金融危机爆发，风险呼啸而至，直接砸向了那群骄傲得不可一世的人，将他们无情吞噬。

压倒他们的最后一根稻草，是来自1998年8月17日俄罗斯的债务违约。

这个世界没有绝对的赢家，数学之外，还有人性。

此后，巨星陨落，财神从神坛跌入尘埃。

1998年上半年，LTCM亏损14%。

1998年9月初，资本金从年初的48亿美元掉落到23亿美元，缩水超过一半。

从5月俄罗斯金融风暴到9月全面溃败，资产净值下降90%， LTCM出现43亿美元巨额亏损，仅余5亿美元，已走到破产边缘。噩耗传来，一切都无力回天，回头望去，LTCM曾经的获利法宝，这一次却变为恶魔。

LTCM主要靠两大法宝获利，即数学模型和杠杆对冲交易。

在斯科尔斯和默顿的手中，所有的市场数据都被收入计算机数学模型之中，可以通过精确计算控制风险。一旦市场存在错误定价，他们就可以建立起庞大的债券及衍生产品的投资组合，进行套利投机活动。

然而他们忽略了，那个为金融衍生品交易定下基调的B-S模型本身存在着的风险。

在LTCM的投资组合中，金融衍生产品占有很大的比例，但在B-S的期权定价公式中，暗含着这样的假设。

（1）交易是连续不断进行的。

（2）市场符合正态分布。

交易连续意味着市场不会出现较大的价格和行市跳跃，可以动态调整持仓来控制风险。基于这个假设及大数定律，我们很容易发现风险因子的变化符合正态分布或类正态分布。

这是很多定价模型的基本假设，但事实并非如此。

市场并不是连续的，也根本不存在足够的交易来时刻保持风险动态平衡，很多无套利定价模型在这类假设下存在缺陷。历史上出现过很多次跳变现象，市场跳变显示出市场并不符合正态分布，存在厚尾现象。而在B-S期权定价公式中，d1和d2作为一种非线性情况的线性风险估值，在价格剧烈变动的情况下同样失去了衡量风险的意义。当系统风险改变的时候，金融衍生工具的定价是具有不可估量性的，远非一个公式可驾驭。

除此之外，在LTCM的数学模型中，它的假设前提和计算结果都是在历史数据的基础上得出的，但是历史数据的统计过程往往会忽略一些概率很小的事件。这些事件一旦发生，将会改变整个系统的风险，造成致命打击，这在统计学上称为厚尾效应，如图16-2所示。

1998年俄罗斯的金融风暴就是这样的小概率事件，而LTCM就是被这根稻草压死的。

倘若LTCM的“阴沟里翻船”是一场失败的风险管理，数学模型的缺陷使它增加系统风险，那它的另一获利法宝——杠杆对冲交易就埋藏着信用风险 13和流动风险 14。

LTCM想要借数学模型之手寻找常人难以发现的套利机会，为了达到这一目的，他们选择了对冲交易，而为了放大收益，他们用了高杠杆。

LTCM利用从投资者处筹得的22亿美元资本作抵押，买入价值1250亿美元证券，然后以证券作为抵押，进行总值12500亿美元的其他金融交易，杠杆比率高达568倍。

高杠杆比率是LTCM追求高回报率的必然结果，也是一把双刃剑。

对冲交易的作用建立在投资组合中两种证券的价格正相关的基础上，但如果正相关的前提发生改变，逆转为负相关，对冲就变成了一种高风险的交易策略，或两头亏损，或盈利甚丰。在高杠杆比率下，对冲盈利和亏损都可以暴增，负相关的小概率事件一发生，尾部风险带来的亏损足以让整个LTCM陷入万劫不复的境地，一着不慎，满盘皆输。

1998年8月17日，俄罗斯宣布债务违约，全球投资遭遇危机。

随之而来的就是全球市场开始暴跌，投资者不惜一切代价抛售手中债券。俄罗斯的破产让很多国际大银行遭受损失，它们连夜召开紧急会议，要出售资产套现。

在这个惨淡的市场中，高杠杆比率要求LTCM拥有足够的现金，满足保证金需求。LTCM曾经笃信哪怕市场因小概率事件偏离了轨道，也会回归到正常水平，所以LTCM没有预留足够的现金，它面临着被赶出“赌场”的危险，流动性不足把它推向了悬崖边缘。

最后，利用历史数据预测证券价格相关性的数学模型也失灵了。LTCM所沽空的德国债券价格上涨，它所做多的意大利债券等证券价格下跌，对冲交易赖以生存的正相关变为负相关，高杠杆下的LTCM一切资产犹如打了水漂，通通血本无归。

结语数学无法预测人性

1998年9月23日，美联储召集各大金融机构的头目，以美林、摩根大通银行为首的15家国际性金融机构注资37.25亿美元购买了LTCM 90%的股权，共同接管了LTCM。2000年，该基金走向了倒闭清算的覆灭之路。

风云变幻的市场就像一个喜欢恶作剧的孩子，LTCM的转瞬直下，使人们从投机市场中的美梦中惊醒，世上原来并不存在完美的数学模型法宝，任何分析方法都有瑕疵。

在自由化全球金融体系下，LTCM是数学金融的受益者，数学模型日益复杂，资本不受限制地自由流动，使对冲基金能够呼风唤雨、攫取利润，可这也成了它的坟墓。

布莱克-斯科尔斯方程作为投资人的圣杯，开创了衍生工具的新时代，催生了巨大的全球金融产业。但衍生工具不是钱或者商品，它们是对投资的投资，对预期的预期，其造就了世界经济的繁荣，也带来了市场动荡，信用紧缩，导致银行体系近于崩溃，经济暴跌。

然而，方程本身没有问题，数学准确并且有用，限制条件也交代得很清楚。它提供了用于评估金融衍生产品价值的行业标准，让金融衍生产品成为可以独立交易的商品。如果方程得到合理使用，在市场条件不合适情况下严禁使用，结果会很好。

但问题是总有人滥用它。市场中的一些不完美因素将使权证的价格偏离B-S模型计算的理论值，包括交易不能连续、存在避险成本和交易费用等。杠杆作用使金融衍生工具过度投机，贪婪使其违背了投资初衷，成了一场不断膨胀的泡沫赌博。金融业内，人们称B-S方程为“米达斯方程”，认为它有把任何东西变成黄金的魔力，但市场忘了米达斯国王 15的结局。

B-S方程能定价期权，却无法预测人性，这与牛顿的感慨如此类似。数学可以计算经济运行的轨迹，却没有办法计算人性的疯狂。

1 衍生金融工具：又称金融衍生产品，是与基础金融产品相对应的一个概念，如在货币、债券、股票等传统金融工具的基础上衍化和派生的，以杠杆和信用交易为特征的金融工具。

2 套利：也称价差交易，指的是在买入或卖出某种电子交易合约的同时，卖出或买入相关的另一种合约。套利通常也指在某种实物资产或金融资产（在同一市场或不同市场）拥有两个价格的情况下，以较低的价格买进，较高的价格卖出，从而获取无风险收益。

3 对冲基金：采用对冲交易手段的基金，也称避险基金或套期保值基金，具体是指利用金融期货和金融期权等金融衍生工具进行盈利。

4 做多：一种金融市场术语，看好股票、外汇或期货等未来的上涨前景而进行买入持有等待上涨获利。做多就是做多头，相信价格将上涨而买进某种金融工具，如股票、外汇或期货，期待涨价后高价卖出。

5 沽空：先借入标的资产，然后卖出获得现金，过一段时间之后，再支出现金买入标的资产归还。用做空投机是指预期未来行情下跌，则卖高买低，将手中借入的股票按目前价格卖出，待行情跌后买进再归还，获取差价利润。

6 无套利定价法：其基本思路为构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。这样就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。

7 看涨期权：期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利。某只股票的看涨期权就是指以某个固定的执行价格在一定的期限内买入该证券的权利。

8 折现：将未来收入折算成等价的现值，该过程将一个未来值以一个折现率加以缩减。

9 MIT ：麻省理工学院的英文简称，坐落于美国马萨诸塞州波士顿都市区剑桥市，是世界著名私立研究型大学。

10 看跌期权：也称卖出期权，期权交易的种类之一，是指在将来某一天或一定时期内，按规定的价格和数量卖出某种有价证券的权利。如果未来基础资产的市场价格下跌至低于期权约定的价格（执行价格），看跌期权的买方就可以以执行价格（高于当时市场价格的价格）卖出基础资产而获利。

11 几何布朗运动：又称指数布朗运动，是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动。几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-斯科尔斯定价模型中模仿股票价格。

12 印花税：对经济活动和经济交往中书立、领受具有法律效力的凭证的行为所征收的一种税。

13 信用风险：又称违约风险，是指借款人、证券发行人或交易对方因种种原因，不愿或无力履行合同条件而构成违约，使银行、投资者或交易对方遭受损失的可能性。

14 流动性风险：金融银行术语之一，指商业银行虽然有清偿能力，但无法及时获得充足资金或无法以合理成本及时获得充足资金以应对资产增长或支付到期债务的风险。

15 米达斯国王：希腊神话中的一个国王，热衷于金钱，神赐予了他点石成金的能力，最终他却不幸地将自己最爱的女儿变成了金人。