附录 数学

附录
数学

劳埃德：你的意思是，像百分之一那么差？

玛丽：我得说更像是百万分之一。

【停顿】

劳埃德：那就是说还是有机会咯。

——金·凯瑞（Jim Carrey）及劳伦·霍莉（Lauren Holly），《阿呆与阿瓜》

在本书正文中，我大胆动用了一些方程——爱因斯坦的两个方程，及不同情况下几个熵的表达式。方程是功能强大的辟邪之物，用很简约的符号就能传递大量信息。认真观察方程并理解其含义，视其为自然界某些特征的严格表达，会带来很大帮助。

但我们也得正视这一事实——方程很可能令人望而生畏。本附录是对指数和对数的简要介绍，我们在定量描述熵时，用到的主要数学思想就是这些。这里面没有什么是理解本书其余部分不可或缺的，正文中随便哪里要是出现对数这个词，你就大无畏地继续大步前进就好了。

指数

指数和对数这两种运算，理解起来的难易程度一模一样。实际上，这俩刚好对立，互为逆运算。如果我们找个数出来，取其指数，再取这个结果的对数，就会回到我们一开始用的这个数。不过，日常生活中我们碰到指数的情形更多一些，所以看起来好像没那么吓人。我们就从指数开始吧。

指数只会用到一个数字，叫作底数，并将其乘方得到另一个数字。乘方的意思是让底数自己跟自己乘起来，乘的次数叫作次方。底数写成正常的数字，多少次方则写成上标。下面是些简单的例子：

25=2×2×2×2×2=32，

22=2×2=4，

43=4×4×4=64.

最简单的情形之一是我们用10做底数，这样一来，多少次方就是1的后面跟了多少个零：

101=10，

102=100，

109=1000000000，

1021=1000000000000000000000.

这就是指数的概念。我们更具体地说到指数函数时，心里想的是用一个固定的数作底数，用次方作为变量。如果用a表示底数，用x表示次方，就有

ax=a·a·a·a·a·a·……·a,x次

这个定义美中不足的是，会给你指数函数的次方x只能是正整数才讲得通的印象。怎么可能让一个数自己乘自己负2次，或者3.7次？这里你得相信，数学魔法可以让指数函数对任意x值都有意义。结果是一个平滑的函数，当x为负数时函数值非常小，x为正时则增长得非常快，如图88所示。

对指数函数还有几个要点需要我们记住。任意数的0次方总是等于1，任意数的1次方总是等于这个数本身。底数为10时，我们有

100=1，

101=10.

如果用负数作指数，结果就是相应正数的指数的倒数：

10-1=1/101=0.1，

10-3=1/103=0.001.

上述性质是指数函数所遵循的更一般的性质的特例。其中有个性质最为重要：如果我们将底数相同但指数不同的两个数相乘，那么结果等于对同一个底数将两个指数相加得到的结果。亦即

10x·10y=10（x+y）

换句话说，和的指数等于两个指数的乘积[316]。

大数

不难看出为什么指数函数很有用：我们要处理的数字有时候确实太大了，而指数只需要用中等大小的数就能表示非常大的数。在第13章中我们曾讨论过，要描述我们宇宙中这个共动区域的可能布局，所需要的不同状态的总数大致为

1010120

这个数字太大了，大到超乎想象。如果不用指数，真不知道要描述出这个数会有多难。

为了好好体会一下这个数字究竟有多大，我们来看看别的大数。十亿是109，万亿是1012；在讨论经济学和财政预算时，这些数字都已经让我们耳朵起茧子了。可观测宇宙中的粒子总数为1088，这也是早期宇宙的熵。现在有了黑洞，可观测宇宙的熵变成了大约10101，但可以想象，这个数最高能高到10120。（10120这个数也是预测的真空能量密度与观测到的密度之间的比值。）

我们拿下面这些数来比较一下：宏观对象（比如一杯咖啡）的熵约为1025。这个数跟阿伏伽德罗常量有关，即6.02×1023，1克氢原子所含的原子数大致就是这个数。地球上所有沙滩上全部沙粒的总数约为1020。通常一个星系中的恒星数量约为1011，而可观测宇宙中也有大约1011个星系，因此可观测宇宙中的恒星约有1022颗——也就比地球上的沙子多一点儿。

物理学家会用到的基本单位包括时间、长度和质量，或这些单位的组合。最短的有意义的时间是普朗克时间，为10-43秒。据推测，暴胀持续了大约10-30秒或更短，不过这个数字极不确定。大爆炸之后大约100秒，宇宙用质子和中子创造了氦；到了38万年（1013秒）之后的复合时期，宇宙就变透明了。（一年约有3×107秒。）可观测宇宙现在的年龄是140亿年，大概是4×1017秒，而再过10100年左右，所有黑洞就都会基本上蒸发殆尽，只剩下一个空寂、寒冷的宇宙。

最短的长度是普朗克长度，约为10-33厘米。质子的大小约为10-13厘米，而人类的高度大约是102厘米。（这个人真够矮的，不过我们这里只关心数量级。）从地球到太阳的距离约为1013厘米，到最近的恒星则有1018厘米，可观测宇宙的大小则是1028厘米左右。

普朗克质量约为10-5克——对粒子来说这可是重于泰山，但是从宏观标准来看又完全微不足道了。质量不为零的最轻的粒子是中微子，我们无法确定其质量究竟是多少，但最轻的中微子似乎约为10-36克。质子约为10-24克，人体重约有105克。太阳质量约为1033克，星系则是1045克的样子，整个可观测宇宙中的总质量则为1056克左右。

对数

对数是天底下最简单的事情：只不过可以用来抵消指数函数而已。也就是说，如果有个数能表示为10x的形式（所有正数都能这么表示），那么其对数就是

lg10x=x

还能有什么比这更简单呢？同样地，指数也能抵消对数：

10lgx=x

另一种思路：如果一个数刚好是10的多少次方（比如10、100、1000，等等），那么对数就是前面那个1的后面0的个数：

lg10=1，

lg100=2，

lg1000=3.

但是跟指数函数一样，对数也是平滑的，如图89所示。2.5的对数约为0.3979，25的对数约为1.3979，250的对数约为2.3979，等等。唯一的限制是我们无法取负数的对数，这也说得通，因为对数是指数函数的反函数，而通过指数运算我们无论如何都不可能得到一个负数。粗略地讲，对大数来说，对数就是“这个数字有多少位”。

就像和的指数等于指数的乘积一样，对数也有个相应特性：乘积的对数等于对数的和。即

lg（x·y）=lg x+lg y

正因为这个迷人的特性，对数在熵的研究中才如此重要。我们在第8章中讨论过，熵的物理性质是两个系统合在一起的熵等于单独两个系统的熵相加。但要想得到联合系统可能状态的总数，你得把这两个系统的状态数相乘才行。因此玻尔兹曼得出结论，熵应该是状态数的对数，而非状态数本身。第9章中我们还讲了一个类似的关于信息的故事：香农想给信息量一个计量方式，好让两条独立消息所含的总信息量等于每条消息单独所含信息量之和，因此他也认识到，他只能取对数。

不那么正规地说，对数的绝妙性质就是能将大数消减成容易对付的大小。对于一个庞大的数，比如一万亿，取其对数的话结果会是12，这就可爱多了。对数函数是一种单调函数——要取对数的值增加时，其对数值也总是会增加。因此对数能够衡量一个数到底有多大，同时又能把大数缩小成合理大小，这在诸如宇宙学、统计力学乃至经济学等领域都能派大用场。

最后一个重要细节是，跟指数一样，对数也可以有不同的底数。数量x“以b为底的对数”，就是我们要把b乘方多少次才能得到x。亦即

log22x=x，

log1212x=x，

等等。如果没有明确写出底数，那就是以10为底数，因为绝大多数人也只有这么多根手指。但科学家和数学家经常喜欢选用一个看似有些古怪的数：他们用的是自然对数，通常写作ln x，其中的底数等于欧拉常数：

ln x=logex，

e=2.718281828459……

欧拉常数跟π以及2的平方根一样，是个无理数，因此上面那个形式可以无穷无尽地写下去。乍一看选这么个数作对数的底好像真是无理取闹，但实际上如果你数学学得好，就会发现e有很多赏心悦目的特性。比如在微积分中，ex这个函数是（除了平凡函数，即函数值在任何地方都等于0的函数之外）唯一等于自己导数的函数，其积分也是如此。本书中我们用到的对数都是以10为底的，但如果你让自己在更高深的物理学和数学中涵泳，就会发现到处都是自然对数。