A.7　指数与对数

在计算联合概率或似然时，人们经常会采用取对数的操作。这个对数到底是什么呢？这里我们来简单地了解一下。

首先，在思考什么是对数之前，我们先来看一下指数。知道指数的人应该很多，它附着在数字的右上角，表示要求这个数字的几次方。

$\begin{aligned}&x^3=x\cdot x\cdot x\\&x^{-4}={1\over x^4}={1\over x\cdot x\cdot x\cdot x}\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.1)\end{aligned}$

指数具有以下性质，这些性质被称为指数法则。

$\begin{aligned}&a^b\cdot a^c=a^{b+c}\\&{a^b\over a^c}=a^{b-c}\\&(a^b)^c=a^{bc}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.2)\end{aligned}$

右上角的指数部分是普通数字的情况很常见，而如果指数部分是变量，那么此时函数就成为了指数函数，其形式是这样的（ a>1 的情况）（图 A-15）。

$y=a^x\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.3)$

图 A-15

指数函数的逆函数是对数函数，它使用 log 来表示。

$y=\log_ax\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.4)$

逆函数指的是某个函数交换和之后的函数。它的图形是将原函数先顺时针旋转 90 度，再左右翻转后的图形。设横轴为、纵轴为，那么实际的对数函数的图形就是这样的（ a>1 的情况）（图 A-16）。

图 A-16

我们可以把它理解为的次方是的意思。虽然有些不太容易理解，但它正好是刚才 y=a^x 中和交换后的形式。表达式 A.7.4 中的部分被称为底，其中以自然常数（用 e 表示的值为 2.7182... 的常数）为底的对数被称为自然对数。在自然对数中常常会像下面这样省略底，将对数简单地写为 log 或者 ln 的形式。

$y=\log_{{\rm e}}x=\log x=\ln x\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.5)$

对数函数具有以下性质，这些性质都很常用，建议大家记住它们。

$\begin{aligned}&\log_{{\rm e}}=1\\&\log ab=\log a+\log b\\&\log{a\over b}=\log a-\log b\\&\log a^b=b\log a\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.6)\end{aligned}$

※ 对数函数的性质可以使用指数法则进行推导。本书省略了推导过程，如果大家有兴趣，请查找相关资料，或者亲自对表达式变形，挑战一下推导的过程。

此外对数函数的微分也是很常见的，这里也来介绍一下。底为的对数函数的微分如下所示。

${{\rm d}\over{\rm d}x}\log_ax={1\over x\log a}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.7)$

尤其是底为 e 的自然对数具有 $\log{\rm e}=1$ 的特点，其微分结果如下所示，非常简洁。建议大家先记住这个表达式。

${{\rm d}\over{\rm d}x}\log_{{\rm e}}x={1\over x}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad({\rm A}.7.8)$

※ 对数的微分也可以使用微分的定义来推导。与对数的性质一样，本书省略了它的推导过程，如果大家有兴趣，请挑战一下推导的过程。

A.7 指数与对数

A.7　指数与对数